Wie bestimme ich eine explizite Formel für an?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

$a_{0}:=0, \quad a_{1}:=4, \quad a_{n}:=2 a_{n-1}+3 a_{n-2}$ für $n \geq 2$.

Problem/Ansatz:

Die Folge an ist rekursiv definiert. Wie bestimme ich eine explizite Formel für an?

Answer 1

Die zugehörige quadratische Gleichung $x^2-2x-3=0$ hat die Lösungen $a=-1,\, b=3$. Damit hat die explizite Formel die Form

$x_n=c_1a^n+c_2b^n$ mit Konstanten $c_1,c_2$, die man mittels LGS aus den Anfangsbedingungen bestimmt.