Bestimmen Sie eine orthonormale Basis von R3×3 die aus Eigenvektoren von A besteht

Question

Aufgabe:

A = [[4,0,2], [0,2,-2],[2,-2,3]] (das sind jeweils die Spalten der Matrix)

Bestimmen Sie eine (bezüglich des Euklidischen Skalarprodukts) orthonormale Basis von R3×3 die aus Eigenvektoren von A besteht. Geben Sie die daraus resultierende Darstellung A = SDS−1 mit
einer orthogonalen Matrix S und einer Diagonalmatrix D an.

Problem/Ansatz:

Ich habe die Eigenvektoren von A bereits berechnet: (1, -1/2, 1), (-2, -2, 1), (-1/2, 1, 1)

Wie soll ich aber jetzt aus 3 Eigenvektoren eine Basis bauen, die aus 3(denke ich zumindest)  Matrizen besteht. Denkt ihr, das ist ein Tippfehler oder verstehe ich etwas falsch?

Answer 1

Ich vermute, das ist ein Tippfehler. Ich sehe keine Interpretation wo hier eine Basis aus Matrizen sinnvoll wäre.

Du hast schon drei EVen, die sind auch orthogonal. Musst also nur noch auf Länge 1 normieren, und die zu S passend zu D zusammenstellen.

Answer 2

Für Matrizen gibt es die Darstellung \(A=SDS^{-1}\), wobei \(S\) die Eigenvektoren und \(D\) die Eigenwerte enthält. Die Basis besteht aus den Eigenvektoren. Das hat nichts mit 3 Matrizen zu tun. ;)

Comments

Aber in der Aufgabe steht ja, dass ich ein Basis des R^3x3  bestimmen soll. Ich verstehe nicht ganz, wie du meinst. Wenn die Basis aus Vektoren besteht, dann kann ja niemals eine Matrix durch Kombination dieser Vektoren entstehen.

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Genau das sagt er doch, und ich in der anderen Antwort auch schon. Du glaubst immer noch, dass es kein Tippfehler ist, trotz zweier Antworten? Warum?

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Ach, ich habe den Tippfehler gar nicht wahrgenommen, eben weil es damit keinen Sinn ergibt.