Bestimmen Sie eine orthogonale Basis des R3, die aus Eigenvektoren von A besteht.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Aufgabe \( 2^{*} \) (5 Punkte)
Gegeben sei die Matrix
\( A=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \)
a) Begründen Sie, ohne b) zu verwenden, dass das charakteristische Polynom von \( A \) in Linearfaktoren faktorisiert werden kann.
b) Bestimmen Sie das charakteristische Polynom von \( A \) und geben Sie die Eigenwerte von \( A \) an.
c) Bestimmen Sie eine orthogonale Basis des \( \mathbb{R}^{3} \), die aus Eigenvektoren von \( A \) besteht.
d) Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix \( S \in \operatorname{Mat}(3,3) \), so dass \( S^{\top} A S \) eine Diagonalmatrix ist.

Problem/Ansatz:

Ich habe bei den Aufgabenteilen a, c und d Probleme. Bei b konnte ich die Eigenwerte berechnen λ1=1 λ2=-1. Bei c konnte ich die die Eigenvektoren berechnen v1(-x2,x2,0) v2(x2,x2,x3). Ich weiß nicht wie ich jetzt weiter rechnen soll. Außerdem weiß ich nicht wie a beweisen kann.

Comments

Habe jetzt nochmal überprüft und habe jetzt für a die Antwort das man es ganz einfach ablesen kann also sollte λ=-1 sein. Das selbe gilt dann auch für b.

Answer 1

a) Wenn e1,e2,e3 die Standardbasisvektoren von R^3 sind,

dann sieht man ja an der Matrix

A*e1 = -e2 und A*e2=-e1 und A*e3=-e3   #

Also ist e3 schon mal ein Eigenvektor zum Eigenwert -1.

Aus # folgt auch gleich

A(e1+e2) = -e2-e1= -(e1+e2) also ist e1+e2 auch

ein Eigenvektor zum Eigenwert -1.

Entsprechend A(e1-e2) = e1-e2 also ist e1-e2 
ein Eigenvektor zum Eigenwert 1.

Somit hat der Eigenraum zur -1 die dim=2

und der zur 1 die dim = 1, also zusammen

3, also zerfällt das char. Polynom in (x-1) *(x+1)^2  .