ich bin - wieder einmal auf Eure Hilfe angewiesen. Ich habe folgende Aufgabe bearbeitet, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich es wirklich verstanden habe und die Aufgabe dementsprechend korrekt gelöst habe.
Aufgabe:
Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden Matrizen. Gibt es jeweils eine Basis des ℝ3 aus Eigenvektoren der Matrizen?
M1 = \( \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \end{pmatrix} \) M2 = \( \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \)
Ansatz:
Für M1:
Eigenwerte: λ1=3, λ2=4, λ3=4
Eigenvektoren:
Für λ1=3 habe ich folgenden Eigenvektor ermittelt: \( \vec{v} \)=\( \begin{pmatrix} -t\\2t\\t \end{pmatrix} \) bzw. für t=1 \( \vec{v} \)=\( \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix} \)
Für λ2,3=4 habe ich \( \begin{pmatrix} s\\t\\t \end{pmatrix} \) ermittelt. Setze ich s=1 erhalte ich \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und setze ich t=1 erhalte ich \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)
Nun geht es darum, ob die drei Eigenvektoren eine Basis im R3 bilden. Das ist der Fall, wenn diese drei Vektoren linear unabhängig sind. Um dies zu prüfen, ermittele ich die Determinante. Ist die det=0, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist det≠0, dann sind die Vektoren nicht linear abhängig.
det \( \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \) = -1 ≠ 0
Diese drei Vektoren bilden eine Basis im R3, da sie nicht linear abhängig sind.
Für M2:
Ich bin genauso vorgegangen wie bei M1.
Eigenwerte: λ1=2 , λ2=5 , λ3=5
Eigenvektoren:
für λ1=2 ist der Eigenvektor: \( \begin{pmatrix} t\\-t\\t \end{pmatrix} \) bzw. mit t=1 \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \)
für λ2,3= \( \begin{pmatrix} s\\t/2\\t \end{pmatrix} \), bei s=1 \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und bei t=1 \( \begin{pmatrix} 0\\1/2\\1 \end{pmatrix} \)
Bilden sie eine Basis?
Ich ermittele wieder die Determinante. Ist die det=0, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist det≠0, dann sind die Vektoren nicht linear abhängig.
det \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1/2 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \) = \( \frac{3}{2} \) ≠ 0
Diese drei Vektoren bilden eine Basis im R3, da sie nicht linear abhängig sind.
Ist mein Vorgehen korrekt, oder habe ich Fehler eingebaut?
Philippus