Eigenwerte, Eigenvektoren ermitteln und auf gemeinsame Basis der Eigenvektoren im R3 prüfen

Question

ich bin - wieder einmal auf Eure Hilfe angewiesen. Ich habe folgende Aufgabe bearbeitet, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich es wirklich verstanden habe und die Aufgabe dementsprechend korrekt gelöst habe.

Aufgabe:

Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden Matrizen. Gibt es jeweils eine Basis des ℝ³ aus Eigenvektoren der Matrizen?

M₁ = \( \begin{pmatrix} 4 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & -1 & 5 \end{pmatrix} \)      M₂ = \( \begin{pmatrix} 5 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} \)

Ansatz:

Für M₁:

Eigenwerte: λ₁=3, λ₂=4, λ₃=4

Eigenvektoren:

Für λ₁=3 habe ich folgenden Eigenvektor ermittelt: \( \vec{v} \)=\( \begin{pmatrix} -t\\2t\\t \end{pmatrix} \) bzw. für t=1 \( \vec{v} \)=\( \begin{pmatrix} -1\\2\\1 \end{pmatrix} \)

Für λ_2,3=4 habe ich \( \begin{pmatrix} s\\t\\t \end{pmatrix} \) ermittelt. Setze ich s=1 erhalte ich \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und setze ich t=1 erhalte ich \( \begin{pmatrix} 0\\1\\1 \end{pmatrix} \)

Nun geht es darum, ob die drei Eigenvektoren eine Basis im R³ bilden. Das ist der Fall, wenn diese drei Vektoren linear unabhängig sind. Um dies zu prüfen, ermittele ich die Determinante. Ist die det=0, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist det≠0, dann sind die Vektoren nicht linear abhängig.

det \( \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \) = -1 ≠ 0

Diese drei Vektoren bilden eine Basis im R³, da sie nicht linear abhängig sind.

Für M₂:

Ich bin genauso vorgegangen wie bei M₁.

Eigenwerte: λ₁=2 , λ₂=5 , λ₃=5

Eigenvektoren:

für λ₁=2 ist der Eigenvektor: \( \begin{pmatrix} t\\-t\\t \end{pmatrix} \) bzw. mit t=1 \( \begin{pmatrix} 1\\-1\\1 \end{pmatrix} \)

für λ_2,3= \( \begin{pmatrix} s\\t/2\\t \end{pmatrix} \), bei s=1 \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und bei t=1 \( \begin{pmatrix} 0\\1/2\\1 \end{pmatrix} \)

Bilden sie eine Basis?

Ich ermittele wieder die Determinante. Ist die det=0, dann sind die Vektoren linear abhängig. Ist det≠0, dann sind die Vektoren nicht linear abhängig.

det \( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1/2 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix} \) =  \( \frac{3}{2} \) ≠ 0
Diese drei Vektoren bilden eine Basis im R³, da sie nicht linear abhängig sind.

Ist mein Vorgehen korrekt, oder habe ich Fehler eingebaut?

Philippus

Answer 1

Aloha :)

Ich habe alles nachgerechnet und bin zu denselben Ergebnissen gekommen.

Du bist allerdings leicht inkonsistent bei \(M_2\). Du gibst den EV als \((1|0|0)\) an und trägst dann in die Determinane \((-1|0|0)\) ein. Das ist nicht schlimm, weil du \((1|0|0)\) durch \((-1|0|0)\) ersetzen kannst, aber es ist nicht ganz rund. Ansonsten habe ich nichts Auffälliges gefunden.

Comments

Hallo Tschakabumba,

vielen Dank für Deine Antwort und den Hinweis! Da bin ich in der Tat etwas durcheinandergekommen mit den Vorzeichen.

Philippus

Answer 2

Gratuliere, alles sehr gut und richtig. Mit den Basismatrizen, sagen wir T

erhält man eine Diagonalmatrix D mit den Eigenwerten in der Diagonale

T^-1 A T = D

Comments

wächter,

vielen Dank für Deine Antwort und die Bestätigung, dass meine Lösung korrekt ist.

Philippus