Beweis: orthonormale Basis und orthogonale Matrix - ei’:=a1ie1+a2ie2+…+anien

Question

Aufgabe:

Sei {e₁,…,e_n} eine orthonormale Basis eines Skalarproduktraumes V.

Sei P=(a_ij) eine orthogonale Matrix.

Dann ist durch e_i’:=a_1ie₁+a_2ie₂+…+a_nie_n             i=1,...,n

ebenfalls eine orthonormale Basis festgelegt. (Zwei Argumentationen!).

Problem/Ansatz:

Orthogonale Matrix:  P^TP = I

orthonormale Basen: sind auf die Länge 1 normiert und haben das Skalarprodukt 0 (sind orthogonal)

e₁....e_n sind othonormale Basen da sie ja die Einheitsvektoren sind

doch wie kommt man dann auf

e_i’:=a_1ie₁+a_2ie₂+…+a_nie_n            i=1,...,n

Answer 1

Hallo

 mach das erstmal für eine 2 und 3 d Matrix, dann verallgemeinern, du musst ja nur zeigen dass das Produkt von ei'*ek'=0 und |ei|=1

du Spalten- und Zeilenvektoren einer Orthiginalmatrix sind auch Einheitsvektoren und orthogonal, was aus PP^T =1 folgt.

(Wenn su schreibst "da sie ja die Einheitsvektoren sind" meinst du hoffentlich nicht nur die Standardbasisvektoren, (√2,√2) und (-√2,√2) etwa und viele andere sind auch orthogonal und Einheitsvektoren)

Gruß lul