Beweis für Orthogonale Vektoren

Question

Ich habe als Mathe PL Thema der Beweis von Orthogonalen Vektoren erhalten. Ich verstehe schon, dass man einfach nur das Skalarprodukt braucht von den jeweiligen Vektoren und dass muss dann gleich null sein, damit sie "Orthogonal" sind. Doch ich muss wissen wie ich beweisen kann, dass das stimmt. Leider finde dazu im Internet sonderlich wenig, weil die meisten Lösungen zu meinem Problem auch tatsächlich darauf fokussiert sind das eigentliche Problem zu lösen. Ich brauche, aber die Erklärung warum diese Lösung denn wirklich funktioniert.

Answer 1

Wie ist das Skalarprodukt über den Cosinus definiert?

a * b = |a| * |b| * cos(γ)

Was wäre denn jetzt cos(90°)? Ist das nicht genau 0 und ist dann das Skalarprodukt nicht auch null?

Comments

Du kannst auch die Formel

a * b = |a| * |b| * cos(γ)

herleiten. Das solltest du machen, wenn ihr die nicht bereits kennt.

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Vielen Dank für die schnellen Antworten. Ich habe das PL Thema erhalten, obwohl wir nichts dazu gemacht haben, mein Lehrer hat mir die Buchseiten gegeben und ich musste mich da selber einlesen, aber ich verstehe worauf ihr hinaus wollt.

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Sinn und Zweck einer PL ist es eigentlich Dinge zu Bearbeiten die man vorher noch nicht gemacht hat.

Wenn ihr das bereits besprochen hättet bräuchte man keine PL.

Man kann sich die PL in etwa wie folgt vorstellen. Später im Berufsleben gibt dein Chef dir die Aufgabe dich über die neue Datenschutz-Grundverordnung (EU-DSGVO) zu informieren und die Auswirkungen auf das Unternehmen zu erläutern.

Warum macht man das? Ganz einfach damit nur einer die Arbeit hat und alle Mitarbeiter davon Profitieren.

Fazit aus langjähriger Unterrichtspraxis ist allerdings das vermutlich nicht mal 10% der Schüler und Schülerinnen in der Lage sind sich ein Thema selbständig zu erarbeiten.

Answer 2

betrachte ein rechtwinkliges Dreieck aufgespannt von den beiden Vektoren

a=(a_x,a_y,a_z)

b=(b_x,b_y,b_z)

Die dritte Seite des Dreiecks lässt sich dann schreiben als folgenden Vektor

c=a-b = (a_x -b_x,a_y -b_y, c_z -c_z)

Für ein rechtwinkliges Dreieck gilt nun

|a|^2+|b|^2=|c|^2

Setzt man nun die obigen Vektoren in die  Gleichung ein, so kürzt sich eine Menge, zum Schluss bliebt das Ergebnis:

-2a_x b_x -2a_y b_y -2a_z b_z=0

bzw. wenn man durch (-2) kürzt

a_x b_x +a_y b_y +a_z b_z=0

Dies ist eine einfach zu überprüfende Bedingung. Man definiert in diesem Zusammenhang die linke Seite der Gleichung als das Skalarprodukt zweier Vektoren

a*b :=a_x b_x +a_y b_y +a_z b_z