Orthogonale zu zwei vektoren

Question

Aufgabe:

Von einem Rechteck ABCD sind die Punkte A(6|0|3), B(6|4|0) und C(0|4|0) gegeben.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des fehlenden Eckpunktes D. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks.

b) Der Punkt S ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks. Eine Gerade g verläuft durch den Punkt S orthogonal zu den beiden Diagonalen. Geben Sie eine Parameterdarstellung von g an

Problem/Ansatz:

Bei a habe ich zuerst 0D=0A+BC berechnet, da habe ich für D=(0|0|3) raus und für den Flächeninhalt A=30FE. Passt das soweit?

Bei b hatte ich meine Schwierigkeiten... Da bin ich mir ziemlich unsicher, weil ich auch nicht so ganze verstehe was mit der Parameterdarstellung gemeint ist. Ich bin wie folgt vorgegangen:

Diagonalen sind: BD und AC

BD=(-6|-4|3) und AC=(-6|4|-3)

dann BD*n=0 → -6x-4y+3z=0

und AC*n=0 → -6x+4y+3z=0

Passt das soweit? Und wie muss ich jetzt fortsetzen.

Danke im voraus!

Comments

Orthogonale zu zwei vektoren

Vielleicht liegt es ja an mir, aber ich sehe nicht was die Aufgabe mit "Orthogonale zu zwei Vektoren" zu tun hat.

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Orthogonalen zu den beiden diagonalen. Die beiden diagonalen sind vektoren. Aber die Person, die mir geholfen hatte, wusste ja was ich meinte

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Ahso, ja. Danke.

Answer 1

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des fehlenden Eckpunktes D. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks.

Es gilt

AD = BC
D - A = BC
D = A + BC
D = [6,0,3] + [-6,0,0] = [0,0,3]

Visualisiere dir solche Aufgaben immer mit Geogebra.

b) Der Punkt S ist der Schnittpunkt der Diagonalen des Rechtecks. Eine Gerade g verläuft durch den Punkt S orthogonal zu den beiden Diagonalen. Geben Sie eine Parameterdarstellung von g an

S = 1/2·(A + C) = 1/2·([6, 0, 3] + [0, 4, 0]) = [3, 2, 1.5]

AB = [0, 4, -3]

AD = BC = [-6,0,0]

n = AB ⨯ AD = [0, 4, -3] ⨯ [-6, 0, 0] = [0, 18, 24] = 6·[0, 3, 4]

g: X = [3, 2, 1.5] + r·[0, 3, 4]

Comments

Vielen Dank. Dann passt das ja schonmal.

Und wie sieht es bei b aus?

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Hier noch die Skizze für b)

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Herzlichen dank. Ich versteh bloß nicht so ganz wieso man das vekorprodukt von ab und ad nimmt

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https://studyflix.de/mathematik/kreuzprodukt-vektorprodukt-2254

Du kannst aber auch über die Bedingungen

AB * n = 0
AD * n = 0

den Normalenvektor über ein LGS ausrechnen. Es gibt da mehrere Möglichkeiten. Ich finde das Vektorprodukt am einfachsten.

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Dankeschön, passt bei a) mein Flächeninhalt mit 30 FE?

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Dankeschön, passt bei a) mein Flächeninhalt mit 30 FE?

|[0, 18, 24]| = 30

Ja, das passt.