Ist doch total easy. Für V hast du eine ONB
v1 := 1/2 ( 1 | 1 | - 1 | - 1 ) ; v2 := 2 ^ ( - 1/2 ) ( 0 | 1 | 1 | 0 ) ( 1 )
Jetzt steht da ausdrücklich, du sollst nichts glauben. Alles sollst du nachprüfen; also ( 1 ) ist tatsächlich eine ONB
|| v1 || ² = 1/4 ( 1 + 1 + 1 + 1 ) = || v2 || ² = 1/2 ( 1 ² + 1 ² ) = 1 ( 2a ) ; ok
< v1 | v2 > = 2 ^ ( - 3/2 ) ( 1 * 0 + 1 * 1 - 1 * 1 - 1 * 0 ) = 0 ( 2b ) ; ok
Was du zuz machen hast, lässt sich übrigens besonders hübsch in der ===> Diracschen ===> Bracketnotation darstellen; schau dir das mal an. Die Matematiker wissen einfach nicht, was gut ist. Der Projektor P_v ist gegeben durch
P_V = | v1 > < v1 | + | v2 > < v2 | ( 3a )
v = P e1 = ( | v1 > < v1 | + | v2 > < v2 | ) | e1 > = ( 3b )
= | v1 > < v1 | e1 > + | v2 > < v2 | e1 > ( 3c )
Die Skalarprodukte in ( 3c ) hast du aber sofort, weil ja e1 nur eine einzige Komponente hat. Mit ( 1 ) findest du unschwer
< v1 | e1 > = 1/2 ; < v2 | e1 > = 0 ( 4a )
Und damit ( 3c )
v = 1/4 ( 1 | 1 | - 1 | - 1 ) ( 4b )
Und damit
w = e1 - v = 1/4 ( 3 | - 1 | - 1 | - 1 ) ( 4c )
Welche Probe kommt dir in den sinn?
|| v || ² + || w || ² = 1 ; < v | w > = 0 ( 5 )
