Zerlegung eines Vektors in zwei orthogonale Vektoren

Question

ich habe hier diese alte Klausuraufgabe und weiß überhaupt nicht, wie ich an b) rangehen soll. Teilaufgabe a) ist ja klar mit Gram-Schmitd-Orthonormalisierungsverfahren. Hab mir auch schon die Musterlösung angeschaut, aber da werde ich auch nicht schlau drauß. Vielleicht kann mir ja jemand auf die Sprünge helfen.

Answer 1

   Ist doch total easy.  Für  V  hast du eine  ONB

      v1  :=  1/2  (  1  |  1  |  -  1  |  -  1  )  ;  v2  :=  2  ^ (  -  1/2  )  (  0  |  1  |  1  |  0  )       (  1  )

    Jetzt steht da ausdrücklich, du sollst nichts glauben. Alles sollst du nachprüfen; also ( 1 ) ist tatsächlich eine  ONB

    ||  v1  ||  ²  =  1/4  (  1  +  1  +  1  +  1  )  =  ||  v2  ||  ²  =  1/2  (  1  ²  +  1  ²  )  =  1     (  2a  )  ;  ok

      <  v1  |  v2  >  =  2  ^ (  -  3/2  )  (  1  *  0  +  1  *  1  -  1  *  1  -  1  *  0  )  =  0    (  2b  )   ;  ok

    Was du zuz machen hast, lässt sich übrigens besonders hübsch in der ===>  Diracschen ===>  Bracketnotation darstellen;  schau dir das mal an. Die Matematiker wissen einfach nicht, was gut ist. Der Projektor  P_v ist gegeben durch

         P_V  =  |  v1  >  <  v1  |  +  |  v2  >  <  v2  |        (  3a  )

      v  =   P  e1  =  (  |  v1  >  <  v1  |  +  |  v2  >  <  v2  |  )  |  e1  >  =     (  3b  )

      =  |  v1  >  <  v1  |  e1  >  +  |  v2  >  <  v2  |  e1  >      (  3c  )

   Die Skalarprodukte in ( 3c ) hast du aber sofort, weil ja e1 nur eine einzige Komponente hat.  Mit  ( 1 ) findest du unschwer

          <  v1  |  e1  >  =  1/2  ;  <  v2  |  e1  >  =  0       (  4a  )

     Und damit  ( 3c )

       v  =  1/4  (  1  |  1  |  -  1  |  -  1  )      (  4b  )

    Und damit

      w  =  e1  -  v  =  1/4  (  3  |  -  1  |  -  1  |  -  1  )      (  4c  )

   Welche Probe kommt dir in den sinn?

           ||  v  ||  ²  +  ||  w  || ²  =  1  ;  <  v  |  w  >  =  0       (  5  )

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Wie kommt man den auf den Projektor zu P_v?

Answer 2

Hallo

 bestimme V senkrecht durch 2 zu den gegebenen senkrechte Vektoren. dann einfach e_1 linear kombinieren, was an der Musterlösung kapierst du denn nicht, da ich sie ja nicht kenne, kann ich dabei auch nicht helfen.

Gruß lul

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Mittlerweile ist mir einiges klarer geworden, allerdings blicke ich noch nicht wirklich wie die hier auf die Gleichung für v kommen: v=<e1,c1> * c1 + <e1,c2> * c2 ?

Außerdem ist mir nicht klar warum man einfach e1, der nicht Element des UVR ist, zur Bestimmung von v nehmen darf?

Das ist die Musterlösung dazu:

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Hallo

 du willst ja e1=v+w. mit v ∈V dann musst du erst mal das v bestimmen, da ja die c_i auch im R^4 liegen, kann man die Komponenten von e1 in richtung c1 und c2 bestimmen und damit v, dazu muss e1 nicht in V liegen. Der restliche Vektor w=e1-v liegt dann automatisch in V senkrecht, gerade weil e1 nicht in V liegt.

Gruß lul

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Erst einmal danke soweit!!!

Mir leuchtet trotzem immer noch nicht ganz ein wie v=<e1,c1> * c1 + <e1,c2> * c2 zustande kommt?

Also was bringt speziell <e1,c1> * c1 addiert mit c1 + <e1,c2> * c2?