sind die vier Punkte in einer Ebene liegen P1(3, 2, −1), P2(−2, 0, 4), P3(1, 3, 3) und P4(4, 5, 6)

Question

Aufgabe:

Ich weiß nicht, ob die vier Punkte in einer Ebene liegen. Wie stelle ich die Gleichung auf? Kann jemand den Rechenweg zeigen? Und was kommt heraus, wenn die vier Punkte in einer Ebene liegen, und was kommt heraus, wenn sie nicht in einer Ebene liegen?

Problem/Ansatz:

Prüfen Sie nach, ob die vier Punkte P1(3, 2, −1), P2(−2, 0, 4), P3(1, 3, 3) und P4(4, 5, 6)
in einer Ebene liegen.

Comments

https://www.youtube.com/watch?v=K9B9Om_9RW4

Answer 1

Man kann auch zeigen, dass das Spatprodukt der drei Vektoren \(\overrightarrow{P_1P_2}, \overrightarrow{P_1P_3}, \) und \(\overrightarrow{P_1P_4} \) gleich 0 ist. Das Spatprodukt ist definiert als \((\vec{a} \times\vec{b}) \cdot \vec{c} \), also gemischtes Produkt aus Kreuzprodukt und Skalarprodukt. Mit dem Spatprodukt berechnet man das Volumen des aufgespannten Spats. Ist dieses 0, wird kein Spat aufgespannt und die 3 Vektoren liegen in einer Ebene und damit auch alle 4 Punkte. Man kann daher auch 3 andere Vektoren zwischen den 4 Punkten wählen.

Answer 2

\( \overrightarrow{OP_4}  = \overrightarrow{OP_1} + r\cdot \overrightarrow{P_1P_2} + s\cdot \overrightarrow{P_1P_3} \)

Das Gleichungssystem hat drei Gleichungen und die beiden Variablen r und s. Wenn es eine Lösung gibt, dann liegen die vier Punkte in derselben Ebene. Und wenn nicht, dann nicht.

Answer 3

Stelle eine Ebene durch drei Punkte auf und mache eine Punktprobe mit dem 4. Punkt.

[3, 2, -1] + r·[-5, -2, 5] + s·[-2, 1, 4] = [4, 5, 6] → keine Lösung und damit liegt P4 nicht in der Ebene von P1, P2 und P3.