Wie berechne ich diese Determinante?

Question

Aufgabe:

$$\text{Berechne die Determinante mit der allgemeinen Definition:} \ det \ A=\sum_{\sigma\in S_n}(sgn(\sigma)\prod_{i=1}^{n}a_{i,\sigma(i)}) \\ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 &0 &6 & 0 \\0&0&-2&0&0 \\0&-1&0&0&0 \\-3&0&0&0&0 \end{pmatrix}$$

Wie berechne ich diese Determinante? Durch die vielen Nullen werden ja sicher keine 120 Permutationen benötigt, wie es für n=5 normalerweise der Fall wäre.

Answer 1

Scheinbar haben die anderen die Aufgabe nicht gelesen.

Es gibt genau eine Permutation \(\sigma_0\), bei der alle Faktoren im Produkt \(\prod_{i=1}^5a_{i,\sigma_0(i)}\) verschieden von 0 sind:

\(\sigma_0 = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}\)

Damit gilt schonmal

\(\displaystyle \det A = \sum_{\sigma \in S_5}\operatorname{sgn}(\sigma)\prod_{i=1}^5a_{i,\sigma(i)}\)

\(= \operatorname{sgn}(\sigma_0)a_{1,5}\cdot a_{2,4} \cdot a_{3,3}\cdot a_{4,2}\cdot a_{5,1}  = -144 \operatorname{sgn}(\sigma_0)\)

jetzt müssen wir nur noch schauen, welches Vorzeichen die Permutation \(\sigma_0\) hat. Dazu zerlegt man \(\sigma_0\) in Transpositionen:

\(\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} = (15)(24)\)

Das sind zwei Transpositionen, damit ist \(\operatorname{sgn}(\sigma_0)= (-1)^2=1\). Insgesamt also:
\(\displaystyle \det A = -144 \operatorname{sgn}(\sigma_0) = -144\cdot 1 = -144\)

Answer 2

Aloha :)

Du vertauschst Zeile 1 und Zeile 5 und multiplizierst dafür die Determinante mit \((-1)\).

Du vertauschst Zeile 2 und Zeile 4 und multiplizierst dafür die Determinante mit \((-1)\).

Wegen \((-1)^2=1\) hast du den Wert der Determinante nicht geändert, aber nun hast du die Determinante einer Diagonalmatrix zu bestimmen.

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist das Produkt der Elmente.

Die Lösung ist daher \((-144)\).

Comments

Es soll ausdrücklich mit der gegebenen Definition gerechnet werden.

Answer 3

Hallo

entwickle nach der ersten spalte, die Unterdet, ebenso dann hast du das schnell .

Das ergibt das Produkt der Diagonalen, wie bei jeder diagonalenmatrix, nur auf das Vorzeichen aufpassen.

lul

Comments

Laut Aufgabe soll es so aber nicht gemacht werden.