Bestimmen Sie den Konvergenzradius von Σ _{n=0}^{∞}(\frac{n+1}{n+2})^{n^2} x^n

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie den Konvergenzradius von $$  \sum \limits_{n=0}^{\infty}(\frac{n+1}{n+2})^{n^2} x^n $$

Problem/Ansatz:

Ich habe das Wurzelkriterium angewendet und bin gelandet bei $$ (\frac{n+1}{n+2})^n $$

Dann habe ich n ausgeklammert und gekürzt. $$ (\frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}})^n $$

Daraus würde sich ja der Grenzwert 1 ergeben: $$ (\frac{1}{1})^n = 1^n = 1$$

Wo liegt jetzt dabei der Fehler? In der Lösung wird so gerechnet mit dem Ergebnis 1/e. Wie kommt der dritte Schritt zustande? Und welche Umformungen werden dafür gemacht?

Text erkannt:

\( \sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n^{2}}}=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n}=\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n}=\left(1+\frac{1}{n+1}\right)\left(\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}\right)^{n+1} \)

Answer 1

Dein Fehler liegt darin, dass du nur das \(n\) im Bruch zunächst gegen unendlich geschickt hast, aber den Exponenten nicht.

Dass dieses Vorgehen falsch ist, kannst du gut an dem berühmten Grenzwert \(\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac 1n\right)^n = e\) sehen. Nach deiner "Methode" müsste sich da ebenfalls 1 ergeben.

Answer 2

Falsch ist: "Daraus würde sich ja der Grenzwert 1 ergeben:"

Denn \( (\frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}})^n \) ist ja so ähnlich

wie der bekannte Grenzwert von \( (1 + \frac{t}{n})^n \) und der ist ja

bekanntlich gleich e^t .

Dazu kannst du deinen Term noch etwas umformen.

\( (\frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}})^n =  (\frac{n+1}{n+2})^n \)

und dann weiter wie in der Musterlösung, also erst mal das in der Klammer

auf die Form "1 + etwas" bringen, also so: \(  (1 + \frac{-1}{n+2})^n \)

Nun passen der Nenner und der Exponent nicht so richtig zusammen,

also noch was anpassen   \(  (1 + \frac{-1}{n+2})^{n+2} \cdot (1 + \frac{-1}{n+2})^{-2} \)

dann geht der 2. Faktor gegen 1 und der erste gegen e^-1 bzw. 1/e.

Answer 3

Um deinen Grenzwert 1 zu erhalten musstest du zunächst den Grenzwert von \( \frac{1+\frac{1}{n}}{1+\frac{2}{n}} \) bestimmen und diesen dann mit n potenzieren. Ein derartiges Vorgehen bei der Grenzwertbestimmung ist nicht erlaubt.

Answer 4

Daraus ergibt sich nicht der Grenzwert 1, weil man nicht erst das eine n gegen unendlich laufen lassen kann und danach erst das andere.

Umformung: Potenzrechenregeln, \(a^n=a^{-1}\cdot a^{n+1}\).