Bestimmen Sie den Funktionsterm. Rekonstruktion

Question

Aufgabe: Das Bestimmen ganzrationaler Funktionsterme

Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades berührt die x-Achse im Koordinatenursprung und hat im Punkt P (-3|0) die Steigung 9. Bestimmen Sie den Funktionsterm.
Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe zunächst die allgemeine Form einer Funktion dritten Grades aufgeschrieben: f(x)=ax³+bx²+cx+d

Dann habe ich versucht, die Bedingungen anhand der Punkte aufzuschreiben, wobei ich nicht weiß, ob das so stimmt:

f(0)=0--> a*0³+b*0²+c*0+d=0

f(-3)=0--> a*(-3)²+b*(-3)²+c*(-3)+d=0

f'(x)=9--> 3a*(-3)²+2b*(-3)+c=9

also:

d=0

-27a+9b-3c+d=0

27a-6b+c=9

Stimmt das so? Und wie geht es weiter? Vielen Dank im Voraus.

Answer 1

"berührt" die x-Achse bei x=0 heißt auch:

f ' (0) = 0

sieht dann so aus:  ~plot~ x^3+3x^2 ~plot~

Answer 2

f '(0) = 0

berühren = dieselbe Steigung wie die x-Achse ->

Die x-Achse hat die Steigung m= 0

Es muss lauten: f '(-3) = 9

Answer 3

Eine Alternative:

berührt die x-Achse im Koordinatenursprung:

doppelte Nullstelle

\(P (-3|0) \)

ist auch Nullstelle

→ beides führt zur Nullstellenform der kubischen Parabel:

\(f(x)=a \cdot x^2\cdot [x-(-3)]=a \cdot x^2\cdot [x+3)]=a\cdot[x^3+3x^2] \)

\(P (-3|...)\) die Steigung \(m=9\)

\(f´(x)=a\cdot[3x^2+6x] \)

\(f´(-3)=a\cdot[3\cdot (-3)^2+6\cdot (-3)]=9a \)

\(9a=9 \)        (a=1 \)

\(f(x)=x^3+3x^2 \)