Rekonstruktion von Funktionen 4. Ordnung

Question

Aufgabe:

4. Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung verläuft durch den Punkt

P(0 | 4) und hat in T(4 | 0) einen Tiefpunkt. Wie lautet die Funktionsgleichung?

5. Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat in W(2 | 0) einen

Wendepunkt mit der Steigung - 2. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel.

Problem/Ansatz:

Guten Abend, kurze Frage an Euch. Mein Ansatz bei Nr.4 wäre, dass man ja aufgrund der Symetrie die Fkt kürzen kann zu: ax^4+cx^2+e=f(x)

Ich wäre wie folgt fortgeschritten:

1. P in f(x)

4= a(0)^4 + c(0)^2 + e => e=4

2. T in f'(x)

0= 4a(4)^3 + 2c(4) => 0= 1024a + 8c

Mein Problem ist, ich brauche ja 3 Bedingungen, da 3 unbekannt. Wie komme ich jedoch nun an meine 3. Bedingung?

5)

Auch hier lässt sich die Funktionsgleichung kürzen, aufgrund der Symetrie.

f(x)= ax^4 + cx^2 + e

1. F''(x)= 12ax^2 + 2c

W in f''(x)

0= 12a(2)^2 + 2c

0= 48a +2c

Nun weiß ich nicht weiter, ich weiß die Steigung ergibt sich aus der ersten Ableitung, wie jedoch kann ich die Aussage der Aufgabe mathematisieren

Vielen Dank im voraus

Viele Grüße

RyzQr

Answer 1

4. f(x) =ax^4+bx^2+c

f(0) = 4

f(4) = 0

f '(4) = 0

5. f(2) = 0

f ''(2) =0

f '(x) = -2

Comments

Dankeschön.

Jedoch stellt sich mir nun die Frage, wieso ich die 4 in die Normalfunktion einsetzen muss?

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Weil (4/0) auf dem Graphen liegt.

Answer 2

Hallo

du kennst doch in beiden Fällen auch den Funktionswert an der Stelle (Tiefpunkt bzw Wendepunkt .) also f(4)=0 nicht nur f'(4)=0 bei  4)

Gruß lul

Comments

Das ist sinnig, danke.

Unser b entfällt ja in dem Falle, aber wieso? Wäre nett wenn ich dazu noch eine kurze Erklärung bekommen könnte

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Das ist sinnig, danke!

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wieso entfällt b?

lul

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Aufgrund der Symetrie. Xd

Danke ;)

Answer 3

4. Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung verläuft durch den Punkt
P(0 | 4) und hat in T(4 | 0) einen Tiefpunkt. Wie lautet die Funktionsgleichung?

\(f(x)=ax^4+cx^2+e\)

\(P(0 | 4)\)

\(f(0)=e\)

1.)\(e=4\)

\(T(4 | 0)\)

\(f(4)=256a+16c+4\)

2.)\(256a+16c+4=0\)

\(T(4 | ...)\)

\(f´(x)=4ax^3+2cx\)

\(f´(4)=4a*4^3+2*c*4\)

3.) \(4a*4^3+2*c*4=0\)

Comments

Dankeschön für die schnelle Antwort.

Jedoch hätte ich da noch eine kleine Frage, weshalb genau entfällt beim einsetzen der 4 in die Normalfunktion unser b?

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5. Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung hat in \(W(2 | 0)\) einen
Wendepunkt mit der Steigung - 2. Bestimmen Sie die Gleichung der Parabel.

\(f(x)=ax^4+cx^2+e\)

\(W(2 | 0)\)

\(f(2)=a*2^4+c*2^2+e\)

1.)\(a*2^4+c*2^2+e=0\)

\(f´(x)=4ax^3+2cx\)

\(f´(2)=4a*2^3+2c*2\)

2.)\(4a*2^3+2c*2=-2\)

\(f´´(x)=12ax^2+2c\)

\(f´´(2)=12a*2^2+2c\)

3.) \(12a*2^2+2c=0\)

Jedoch hätte ich da noch eine kleine Frage, weshalb genau entfällt beim einsetzen der 4 in die Normalfunktion unser b?

Im Ansatz für die Parabel 4. Grades hast du doch kein \(b*x^3\) wegen der Symmetrie zur y-Achse.

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Meine Frage machte nicht sonderlich viel Sinn, da b so oder so entfällt, da wir durch die Symetrie eine andere Normallfunktion gegeben haben.

Danke dennoch für die ausführliche Antwort! :)

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4. Eine zur y-Achse symmetrische Parabel 4. Ordnung verläuft durch den Punkt P(0 | 4) und hat in T(4 | 0) einen Tiefpunkt. Wie lautet die Funktionsgleichung?

Eine schnelle Alternative:

\(T_1(4 | 0) \) bedeutet auch \(T_2(-4|0)\) wegen der Symmetrie.

\(f(x)=a*(x-4)^2*(x+4)^2\)

\(P(0 | 4)\)

\(f(0)=a*(0-4)^2*(0+4)^2=256a=4\)   → \(a=\frac{1}{64}\)

\(f(x)=\frac{1}{64}*(x-4)^2*(x+4)^2\)