Matrizen, Lösungsmenge

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 4 (4 Punkte)
Gegeben sei die Matrix \( A_{\alpha}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -1+3 \alpha & 1 & 1-3 \alpha \\ -1 & 3-3 \alpha & 9 \alpha^{2}+1 & -2+3 \alpha \\ 1 & -1+3 \alpha & 3 \alpha & 3-9 \alpha\end{array}\right) \)
(a) Sei zunächst \( \alpha:=0 \) sowie \( b:=(1,2,3)^{\top} \). Bestimmen sie die Lösungmenge \( \mathcal{L} \) des linearen Gleichungssystems \( A_{0} x=b \) :
\( \mathcal{L}=\left(\begin{array}{c} \frac{13}{2} \\ \frac{7}{2} \\ -2 \\ 0 \end{array}\right)+\mathrm{L}\left(\left(\begin{array}{c} -\frac{9}{2} \\ -\frac{3}{2} \\ 2 \\ 1 \end{array}\right)\right) \)

Hallo zusammen, ich brauche bei der Aufgabe nen Ansatz. Wie muss ich rechnen um auf diese Lösung zu gelangen?

Answer 1

Setze α=0 und das b als 5. Spalte in die Matrix

\( \left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & 1&1 \\ -1 & 3 & 1 & -2&2 \\ 1 & -1 & 0 & 3&3\end{array}\right) \)

und bringe die Matrix auf Dreiecksform.

2. Zeile + 1. Zeile und 3. Zeile - 1. Zeile gibt

\( \left(\begin{array}{cccc}1 & -1 & 1 & 1&1 \\ 0 & 2 & 2 & -1&3 \\ 0 & 0 & -1 & 2&2\end{array}\right) \)

Die 4. Variable frei wählen, also x₄=t gibt in der letzen Zeile

                   x₃ = -2+2t

In die 2. Zeile einsetzen gibt     x₂= 3,5 - 1,5z.

Alles in die erste gibt x₁ = 6,5-4,5t. Also sehen alle Lösungen so aus

\( \left(\begin{matrix} 6,6-4,5t \\ 3,5-1,5t \\ -2+2t \\ t \end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix} 6,5 \\ 3,5 \\ -2 \\ 0 \end{matrix}\right) + t\left(\begin{matrix} -4,5 \\ -1,5 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}\right) \)

Comments

wie bringe ich es in die Dreiecksform?

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Hab was ergänzt.

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Vielen Dank jetzt habe ich es gecheckt :)