Wie erhalte ich die Lösungsmenge der Koeffizientenmatrix?

Question

Aufgabe:

Ermittelt werden soll, für welche reellen Zahlen anstelle von a das LGS genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen hat.

Koeffizientenmatrix (letzte Spalte ist Erweiterung)

0	0	a^2+2a-4	-3a^2-3a
1	-1	0	a
0	0	-2a^2-2a	6a^2+6a
0	-2	-2a	3a-1

Problem/Ansatz:

Mithilfe des Gaußverfahrens konnte ich bereits ermitteln, dass für a = -1 und a = 0 das GLS eindeutig lösbar ist. Verglichen mit der Musterlösung stellte ich fest, dass für a = 4 auch genau eine Lösung existieren soll, verstehe jedoch nicht, wie ich darauf komme.

Answer 1

Der erste Weg zur Erkenntnis wäre, das GS unter Verwendung von a=4 zu lösen. Was erhältst du?

Doch noch ein kleiner Tipp: Für a≠0 (also fast immer) wird die dritte Gleichung zu

z=-3.

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Ich nutze die Gleichung

(- 2·a^2 - 2·a)·z = 6·a^2 + 6·a → a = 0 oder a = .1 oder z = -3

Setze z = -3 dann in folgende Gleichung ein:

(a^2 + 2·a - 4)·z = - 3·a^2 - 3·a --> a = 4

Comments

Damit ist (noch) nicht endgültig geklärt, dass es für a=4 genau eine Lösung gibt.

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Ich wollte auch nur zeigen wie man auf a = 4 und z = -3 kommt. Ich traue tiger9275 zu, dass er das in die zwei verbleibenden Gleichungen einsetzen kann. Wenn nicht bitte gerne nochmals melden, dann kann ich auch dabei helfen.

Ich erhalte zur Kontrolle noch x = -5.5 ∧ y = -9.5

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Ich traue tiger9275 zu, dass er das in die zwei verbleibenden Gleichungen einsetzen kann

Das ist Satire pur.

Du traust tiger9275 ja nicht einmal zu, dass er meinem Hinweis

Für a≠0 (also fast immer) wird die dritte Gleichung zu z=-3.

eigenständig hätte folgen können. Aber schön, dass du ihm meine Anregung haarklein vorgekaut hast.

Ganz großes Kino...

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Wenn du nicht erklärst, wie man auf a = 4 kommt, musst du damit rechnen, dass es jemand anders macht.

Und ich habe hier nichts haarklein vorgemacht. Ich habe nur den Ansatz und die Lösung z = -3 notiert. Die explizite Rechnung steht bei mir nicht dabei und ist vom Fragesteller zu erbringen.

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Vielen Dank für die Erklärungen, eines noch:

Ich erhalte für a = 4; x₁ = 10,5 und x₂ = 6,5, jedoch nicht -5,5 und -9,5.

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Für a=4 und z=-3 wird die letzte Gleichung zu -2y + 24= 11, damit ist y tatsächlich 6,5.

Der Mathecoach hat sich verrechnet.

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Richtig. Ich habe in folgender Gleichung das z vergessen:

- 2·y - 2·4·(-3) = 3·4 - 1 --> y = 6.5

Und dann

x - 6.5 = 4 --> x = 10.5