Aufgabe:
Entscheiden Sie nach Satz 2.7 Kap. 4, ob die Gleichungssysteme zu den angegebenen, erweiterten Koeffizientenmatrizen \( \hat{A}_{i} \) lösbar sind.
Falls Sie lösbar sind, schreiben Sie die Lösungsmenge in der Form \( S_{G}=\left\{u_{0}\right\}+S_{H G}( \) nach Satz 2.8 Kap. 4) auf.
a) \( \hat{A}_{1}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 3 & -2 & 1 \\ 1 & -2 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & -1 & 2\end{array}\right) \) in den Körpern \( \mathbb{R} \) und \( \mathbb{Z}_{2} \)
b) \( \hat{A}_{2}=\left(\begin{array}{cccccc}2 & 0 & -1 & 2 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & -4 & 1 & 2 & 2\end{array}\right) \) im Körper \( \mathbb{R} \)
c) \( \hat{A}_{3}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ 2 & 3 & 1 & 12 \\ 2 & 2 & -2 & 6\end{array}\right) \) im Körper \( \mathbb{R} \)
Satz 2.7
Haben einfache und erweiterete Koeffizienten Matrix gleichen Rang so ist das System lösbar
Satz 2.8
Sei L: V->W lineare Abbildung und b ∈ W. Betrachten die Gleichung
$$ L(u) = b \ \ \ \ \ (G) $$ und die zugehörige homogene Gleichung $$L(u) = 0 \ \ \ \ \ (HG) $$ Sind S_G und S_HG die Lösungmengen von (G) bzw. (HG) so gilt:
Besitzt G die Lösung u ∈ V so ist
$$ S_G = {u} + S_{HG} = u_0 + ker(L) $$
Ansatz/Problem:
Satz 2.7 lässt sich leicht zeigen. Nur bei Satz 2.8 habe ich meine Schwierigkeiten es darzustellen. Addiert man dort die Lsg.menge u mit dem Kern von L?
