Zeilen und Spaltenrang einer allgemeinen Matrix bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die \( m \times n \)-Matrix:

\( A=\left(\begin{array}{ccc} a_{1,1} & \ldots & a_{1, m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n, 1} & \ldots & a_{n}, m \end{array}\right) \)

mit \( a_{i, j}=i+j \) für alle \( i \in\{1, \ldots, n\}, j \in\{1, \ldots, m\} \). Bestimmen Sie den Zeilen- und den Spaltenrang der Matrix \( A \) für beliebige \( n, m>0 \). Geben Sie dabei Ihren Rechenweg an.

Answer 1

Hi, ich mach das mal für den Zeilenrang. Bezeichne \( z_i \) die i-te Zeile der Matrix \( A \) 

Dann ersetzte \( z_i \) durch $$ z_i' = \frac{a_{i1} z_1 - a_{11} z_i }{i-1}  $$

Es gilt \( z_i' = \begin{pmatrix}  0 & 1 & 2 & \cdots & n-1 \end{pmatrix} \) für alle \( i \ge 2 \)
Damit sind alle Zeilen \( z_i' \) für \( i \ge 2 \) linear abhängig und damit gilt \( \text{Rang}(A) = 2\)

Comments

Und für den Spaltenrang könnte man die Matrix transponieren und die gleiche Formel anwenden?

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Ja kann man so machen, es ergibt sich dann die Formel

$$  s_i' = \frac{a_{1i}s_1-a_{11}s_i}{i-1} $$

Auch hier gilt, der Rang ist \( \le 2 \)