Ungleichung zu Spaltenrang und Zeilenrang des Matrizenprodukts AB beweisen

Question

Aufgabe:

Es seien K ein Körper, A ∈ \( K^{m×n} \) und B ∈ \( K^{n×p} \).

Zeigen Sie, dass:
Spaltenrang AB ≤ Spaltenrang A

und

Zeilenrang AB ≤ Zeilenrang B

und folgern Sie, dass

Rang AB ≤ min(Rang A, Rang B).

Problem/Ansatz:

Ich habe leider überhaupt keine Idee, wie man das beweisen könnte.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Spaltenrang AB ≤ Spaltenrang A und Zeilenrang AB ≤ Zeilenrang B

Stichworte: matrix,beweise,rang

Aufgabe:

Hallo, Wie kann ich denn beweisen, dass der Spaltenrang AB ≤ Spaltenrang A und der Zeilenrang AB ≤ Zeilenrang B.

Diesen Beweis brauche ich nämlich um zu zeigen, dass Rang AB ≤ min(Rang A, Rang B).

Ansatz:

Ich weiß, dass die Spalten von AB lineare Kombinationen der Spalten von A und die Zeilen von AB lineare Kombinationen der Zeilen von B sind. Aber ich weiß leider nicht wie ich das in den Beweis einbringen kann.

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Bitte Kommentiere unter der Antwort hier https://www.mathelounge.de/851448/spaltenrang-zeilenrang-ab-berechnen?state=close Falls für dich dort noch nicht alles klar ist.

Answer 1

Die erste Spalte von AB ist eine Linearkombination der Spalten von A. Die Koeffizienten dieser Spalte stehen in der ersten Spalte von B.

Selbiges gilt für die übrigen Spalten von AB.

Der Spaltenraum von AB ist deshalb Teilmenge des Spaltenraumes von A.

Comments

Okay vielen Dank!

Gilt das analog auch für den Zeilenrang?

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Die erste Spalte von AB ist eine Linearkombination der Spalten von A. Die Koeffizienten dieser Spalte stehen in der ersten Spalte von B.

Das hab ich einfach mal so behauptet. Das musst du natürlich noch nachrechnen.

Gilt das analog auch für den Zeilenrang?

Ebenfalls. Nachrechnen.