\(C\) invertierbar \(\iff\) \(C^T\) invertierbar \(\iff\) Spaltenrang \(n \iff\) Zeilenrang \(n\)
Aufgabe:
Zeigen Sie, dass für ein beliebiges \(C ∈ M(n × n; \mathbb{K})\) die folgenden Aussagen äquivalent sind:
(i) \(C\) ist invertierbar,
(ii) \(C^T\) ist invertierbar,
(iii) Der Spaltenrang von \(C\) ist \(n\),
(iv) Der Zeilenrang von \(C\) ist \(n\).
Problem/Ansatz:
\(i)\implies ii)\)
Wenn C invertierbar ist, dann gibt es \(C^{-1}\). Wenn es eine Inverse Matrix gibt, dann darf nach der Gaußelimination keine Nullzeile auftreten, d.h. dass alle Zeilenvektoren linear unabhängig sind. C^T invertierbar also \(((C^T)^{-1})\) bedeutet, dass auch \((C^{-1})^T\) gilt. Das wäre wieder Aussage i), also es existiert eine Inverse Matrix \(C^{-1}\).
\(ii)\implies iii)\)
Wenn es eine Inverse Matrix gibt, dann darf nach der Gaußelimination keine Nullzeile auftreten, d.h. dass alle Zeilenvektoren linear unabhängig sind. Also ist der Spaltenrang \(n\).
\(iii)\implies iv)\)
Weil bei jeder Matrix Spaltenrang = Zeilenrang, muss auch der Zeilenrang \(n\) sein.
\(iv)\implies i)\)
Weil Zeilenrang von \(C\; n\) ist, sind alle \(n\) Zeilen linear unabhängig, also es würde keine Nullzeile nach der Gaußelimination entstehen. Das ist auch gerade die Voraussetzung dafür, dass C invertierbar ist. Also folgt daraus auch i).
Sieht irgendwie ein bisschen zu simpel aus. Fehlt hier noch irgendetwas?
