Gleichungssystem lösen, Lösungsmenge finden. Wann ist Koeffizientenmatrix invertierbar, Inverse?

Question

Aufgabe:

Für \( a, b \in \mathbb{R} \) sei das folgende Gleichungssystem über \( \mathbb{R} \) gegeben:

\( \left(\begin{array}{ccc} a & 1 & -1 \\ 0 & 2 & -2 \\ -1 & -1 & 0 \end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{l} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} b \\ 4 \\ -b \end{array}\right) \)

Für welche Werte von \( a \) und \( b \) hat das Gleichungssystem genau eine, unendlich viele oder keine Lösungen? Was ist die Lösungsmenge? Wann ist die Koeffizientenmatrix invertierbar und was ist in diesem Falle das Inverse?

Answer 1

Genauso wie beim Rest. Wir machen hier nicht deine Hausaufgaben!!!
Also was generelles zur Aufgabe :
Du kannst die Matrix mit dem Vektor (x1,x2,x3 ) multiplizieren. Ich gehe davon aus,dass du das kannst.(wenn nicht frag nochmal bescheid. ) Du erhältst einen 3x1 Vektor den du mit (b,4,-b ) gleichsetzt.
Du hast nun ein Gleichungssystem aus 3 Gleichungen mit 3 verschiedenen Unbekannten x1 x2 x3  .(a und b sind zunächst erstmal nur als Konstanten zu sehen).
So ein Gleichungssystem hat eine Lösung, wenn es genau ein x1 x2 x3 gibt,dass diese Gleichung löst.
Es hat unendlich viele Lösungen,wenn du beim Auflösen des Gleichungssystem mit dem Gaußverfahren eine Nullzeile erhältst( 0 0 0 = 0 ) , und dir somit eine der Variablen frei wählen kannst.
Es hat keine Lösung wenn du eine Zeile erhältst in der ein Widerspruch vorkommt . Zb: 0 0 0 = 1 .

Invertierbar ist eine Matrix wenn sie einen vollen Rang besitzt = keine linear Abhängigen Zeilen/Spalten.

Damit kannst du doch bestimmt selber arbeiten oder nicht?

Answer 2

Die Koeffizientenmatrix ist invertierbar, wenn ihre Determinante <> 0 ist. In diesem Fall gibt es genau eine Lösung.

In den anderen Fällen gibt es keine oder unendlich viele Lösungen.

DET([a, 1, -1; 0, 2, -2; -1, -1, 0]) = - 2·a = 0

Für a <> 0 sollte es damit genau eine Lösung geben.

Ich bringe die Matrix mal in eine etwas ungewöhnliche Zeilenstufenform. Dabei habe ich nur von der 2. Zeile 2 mal die erste subtrahiert und dann die 2. und 3. Zeile Vertauscht.

[a, 1, -1, b]
[-1, -1, 0, -b]
[- 2·a, 0, 0, 4 - 2·b]

Jetzt kann man auch sehen das wenn,

a = 0 und b = 2 --> unendlich viele Lösungen

a = 0 und b <> 2 ---> keine Lösung

Schaffst du es jetzt die Zeilenstufenform ganz aufzulösen und damit die Lösungsmenge zu bestimmen?

Comments

Ich bestimme dir zur Kontrolle nochmal die Inverse. Damit könntest du dann auch gleich die Lösungen bestimmen.

[a, 1, -1; 0, 2, -2; -1, -1, 0]^{-1} = [1/a, - 1/(2·a), 0; - 1/a, 1/(2·a), -1; - 1/a, (1 - a)/(2·a), -1]

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Das haben wir verstanden Problem ist jetzt, dass wir nicht verstehen, wie man auf die Lösungsmenge kommt.Wir dachten, dass in dem Fall

-2a* x = 4-2b nach x aufgelöst werden muss. Allerdings hast du da das Inverse genutzt.

LG

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- 2·a·x = 4 - 2·b --> x = (b - 2)/a

Das jetzt einsetzen und auch y Ausrechnen. Und mit dem Wissen über x und y am Ende auch noch z ausrechnen.

Mit der Inversen kannst du dann deine Lösung kontrollieren.

[1/a, - 1/(2·a), 0; - 1/a, 1/(2·a), -1; - 1/a, (1 - a)/(2·a), -1]·[b; 4; -b] = [(b - 2)/a; (2 - b)/a + b; (a - 1)·(b - 2)/a]