lineares Gleichungssystem,, Koeffizientenmatrix

Question

a) In einer Klausur wurden von den Schülern für das lineare Gleichungssystem

2    3   1                    3

4   -4   2         *x =    1

2  -5    1                    -1

Lösungen angegeben.....

Gib die richtige Lösung an.

b) Stellen sie die zugehörige erweiterte Koeffizientenmatrix auf und bestimmen die Lösung des linearen Gleichungssystems:

x1  -  x2                                +x5  =  3

x1  + x2                      -3x4           =  6

2x1 - x2                      +x4    - x5  = 5

-x1  + 2x2                   -2x4   - x5  = -1

Answer 1

[2, 3, 1, 3]
[4, -4, 2, 1]
[2, -5, 1, -1]

II - 2*I ; III - I

[2, 3, 1, 3]
[0, -10, 0, -5]
[0, -8, 0, -4]

5*III - 4*II

[2, 3, 1, 3]
[0, -10, 0, -5]
[0, 0, 0, 0]

z = z (Freiheitsgrad)

-10y = -5 --> y = 0.5

2x + 3*0.5 + z = 3 --> x = 0.75 - 0.5·z

[0.75, 0.5, 0] + z*[-0.5, 0, 1]

Schüler R und S haben auch diese Lösung. Achte darauf das man den Richtungsvektor einfach vervielfachen kann und zum Ortsvektor ein vielfaches des Richtungsvektor addieren darf.

Comments

[1, -1, 0, 1, 3]
[1, 1, -3, 0, 6]
[2, -1, 1, -1, 5]
[-1, 2, -2, -1, -1]

[1, -1, 0, 1, 3]
[0, 2, -3, -1, 3]
[0, 1, 1, -3, -1]
[0, 1, -2, 0, 2]

[1, -1, 0, 1, 3]
[0, 2, -3, -1, 3]
[0, 0, 5, -5, -5]
[0, 0, -1, 1, 1]

[1, -1, 0, 1, 3]
[0, 2, -3, -1, 3]
[0, 0, 5, -5, -5]
[0, 0, 0, 0, 0]

Hier hat man ein Freiheitsgrad. Löst also alles in Abhängigkeit von x5.

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Ich habe mich auch an dieser Aufgabe probiert und erstmal das lineare Gleichungssystem mit Hilfe des Gauß-Algorithmus bearbeitet. Aber da bekomme ich dann keine gescheite Lösung und vorallem habe ich ein totales Problem irgendwie zu sehen,welche der angegebenen Schülerlösungen nun richtig sein könnte!?Kann mir da vielleicht jemand sagen,wie ich weiter vorgehen muss?

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Ich habe doch schon die Zeilenstufenform dort stehen. Jetzt noch schnell auflösen.

-18y = -9 --> y = 0.5

-20*0.5 + 2z = -9 --> z = 0.5

3x + 2*0.5 + 0.5 = 3 --> x = 0.5

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Ok super danke...hatte das anders verstanden...das hätte ich dann doch auch alleine hinbekommen ;-) Und wie kann ich nun sehen  (und auch zeigen), welche von meinen 4 Schülerlösungen richtig ist?

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Ich hab grade gesehen,dass du ganz oben in der ersten Zeite etwas falsch abgeschrieben hast und so deine Lösungen nicht mehr stimmen...die erste Zeile des Gauß-Algorithmus muss doch (2;3;1;3) heißen und nicht ((3;2;1;3)? Oder sehe ich da irgendwas nicht?

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Oh. Ich verbesser das

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Also das Schüler S nun auch das selbe Ergebnis hat sehe ich anhand der letzten eckigen Klammer (da es ja exakt das selbe ist), aber mit Schüler R das sehe ich irgendwie nicht...hätte eher gesagt, dass Schüler T noch das selbe Ergebnis hat, da in seiner letzten eckigen Klammer ein Vielfaches der errechneten letzen Klammer ist...kannst du das mit dem Orts- und Richtungsvektor vielleicht nochmal erklären?

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Ich kann meinen Richtungsvektor mit -2 multiplizieren. Dann stimmt meiner mit dem von R überein. Dann muss ich nur noch schauen ob ich den Ortsvektor von R mit meiner Geradengleichung hin bekommen. Auch das geht.

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wer könnte bei Aufgabenteil b helfen?

Lieben Grus

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Hilfe steht doch als Kommentar.