lineare Gleichungssysteme und erweiterte Koeffizientenmatrix

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Wir betrachten das folgende lineare Gleichungssystem:
\( \begin{aligned} 2 x_{1}-x_{2}+3 x_{3} & =1 \\ 4 x_{1}+2 x_{2}+5 x_{3} & =4 \\ 2 x_{1}+2 x_{3} & =6 \end{aligned} \)
Stellen Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix auf. Formen Sie diese in die Zeilenstufenform um. Verwenden Sie dies zur Ermittlung der Lösungsmenge.

Problem/Ansatz:
Guten Abend,
kann mir jemand hier zeigen, wie ich bei dieser Aufgabe die erweiterte Koeffizientenmatix aufstelle und diese dann in die Zeilenstufenform umforme. Zu dieser Aufgabe gibt es eine Folgeaufgabe ich dann gerne alleine lösen würde, damit ich anhand von dieser Aufgabe das ganze anschaulich lernen/verstehen kann.

Ich hoffe auf eine baldige Antwort :)
LG

razeran

Answer 1

Dazu moniert man die rechte Seite als 4.Spalte in die Matrix der Koeffizenten des LGS.

und dann ⇓

1. Zeile zu Zeile 2,3

bis 2. Zeile zu Zeile 3

ggf Diagonal-Element zu 1

weiter ⇑

3. Zeile zu Zeile 2,1

2. Zeile zu Zeile 1

sollte dann ergeben

\(RRef=\small \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&9\\0&1&0&-1\\0&0&1&-6\\\end{array}\right)\)

Comments

Hallo,

vielen Dank für die Antwort, ich habe die Schritte so gemacht wie Sie das gesagt haben. Jedoch kam bei mir ein anderes Ergebnis heraus, könnten Sie die Schritte nochmal in Matrixform jeweils hinschreiben, damit ich meinen Fehler finden kann? Das wäre spitze

---

Also dann

{"Zeile2 −= 2 Zeile1", "Zeile3 −= 1 Zeile1", "Zeile3 −= 1/4 Zeile2"}

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}2&-1&3&1\\0&4&-1&2\\0&0&\frac{-3}{4}&\frac{9}{2}\\\end{array}\right)\)

{"Zeile3 *-4/3", "Zeile1 −= 3 Zeile3", "Zeile2 += 1 Zeile3", "Zeile1 += 1/4 Zeile2"}

\(\small \left(\begin{array}{rrrr}2&0&0&18\\0&4&0&-4\\0&0&1&-6\\\end{array}\right)\)

Durch DiagWerte dividieren - siehe oben

Answer 2

alternativ:

2a-b+3c = 1

4a+2b+5c = 4

2a+2b = 6 -> a+b = 3 -> a= b-3

2*I- II.:

-4b+c = -2 -> c= 4b-2

2(b-3) -b +3(4b-2) = 1

2b-6-b +12b -6 = 1

13b = 13

b= 1

a= -2

c= 2

Comments

Die Lösung ist nicht korrekt. Bei der Aufgabe ist die dritte Zeile 2x1 und 2x3, und nicht 2x1 und 2x2. Daher auch Endergebnis nicht korrekt. Endergebnis muss x1=9 x2= -1 und x3 = -6 rauskommen

2a-b+3c = 1

4a+2b+5c = 4

2a+(2c) = 6   <-------------------

a=9

b=-1

c=-6