Erweiterte Koeffizientenmatrix in norminale Zeilenstufenform (spezielles Problem)

Question

ich verzweifle hier seit Stunden an einer Aufgabe. Ich soll eine erweiterte Koeffizentenmatrix auf die norminale Zeilenstufenform bringen. Die EKZM lautet:

0 - 1 0 2  II -2

-2 -2 0 0  II -8

1  1 0 0   II  6

das Problem das ich habe ist folgendes: addiere ich z.B. 2*3te Zeile in die 2te kommt für die zweite Zeile raus:

0 0 0 0 II 4 was ja nicht sein kann, weil als Gleichung wäre das 0a+0b+0c+0d=4

fange ich anders an, kommt jedes mal eine andere EKZM raus, abhängig davon welche Reihenfolge meine Schritte haben. Und das kann ja auch nicht sein, da ja eine NZSF als eindeutig definiert ist?

Kann mir hier jemand helfen? Wo ist mein Denkfehler?

Answer 1

0 0 0 0 II 4  ist richtig und in der Tat wäre das 0a+0b+0c+0d=4 

da es aber keine a, b, c, d gibt, die 0a+0b+0c+0d=4 erfüllen, hat das Gleichungssystem keine Lösung

eine Zeilenstufenform wäre:

 -2 -2 0 0  II -8 

  0 - 1 0 2  II -2 

  0 0 0 0 II 4  

ein anderes Lösbarkeitskriterium:  Ein lineares Gleichungssystem ist genau dann lösbar, wenn der Rang der Koeffizientenmatrix gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix ist

man sieht: der Rang (= Anzahl der Nichtnullzeilen) der Koeffizientenmatrix ist 2 und somit ungleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix, der 3 ist. Auch deswegen ist das lineare Gleichungssystem nicht lösbar.