erweiterte Koeffizientenmatrix erstellen

Question

Aufgabe:

\( \left(\begin{array}{cccccc}4 & 0 & 8 & -8 & 8 & 32 \\ 3 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 \\ 1 & 0 & -1 & 4 & -3 & 6 \\ -2 & 0 & 1 & -6 & 4 & -12\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4 \times 6} \) und \( b=\left(\begin{array}{c}8 \\ -9 \\ -5 \\ 8\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{4} \).
(a) Geben Sie die erweiterte Koeffizientenmatrix \( [A|| b] \) an.
(b) Bestimmen Sie \( r=\operatorname{Rg}(A) \) sowie Kern \( (A) \) (in der Form \( \mathrm{L}\left(v_{1}, \ldots, v_{6-r}\right) \) ).
(c) Bestimmen Sie \( \mathcal{L}(S) \subseteq \mathbb{R}^{6} \) für das LGS \( S: A v=b \).

Answer 1

Da würde ich aus Ab -> RRef (Zeilenstufenform!) erstellen

\(\small Rref=\left(\begin{array}{rrrrrr|r}1&0&0&2&0&4&-4\\0&1&0&1&0&-2&0\\0&0&1&-2&0&4&4\\0&0&0&0&1&-2&-1\\\end{array}\right)\)

===> r=4

Tausche Rref T₄₅ ==>

\(\small \left(id_4 \;K_4\right) = \left(\begin{array}{rrrrrr}1&0&0&0&2&4\\0&1&0&0&1&-2\\0&0&1&0&-2&4\\0&0&0&1&0&-2\\\end{array}\right)\)

Spalte 5, 6 zum Kern erweitern, zurück tauschen

\(\small Kern_A= T_{45} \left(\begin{array}{r}K_{4}\\\textcolor{red}{-id_{n-r}}\\\end{array}\right)  \, =  \, \left(\begin{array}{rr}2&4\\1&-2\\-2&4\\\textcolor{red}{-1}&0\\0&-2\\0&\textcolor{red}{-1}\\\end{array}\right) \)

zusammen

\(\scriptsize \left\{ \left(\begin{array}{rrrrrr}4&0&8&-8&8&32\\3&1&2&3&5&8\\1&0&-1&4&-3&6\\-2&0&1&-6&4&-12\\\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}-4 \; t_1 - 2 \; t_2 - 4\\2 \; t_1 - t_2\\-4 \; t_1 + 2 \; t_2 + 4\\t_2\\2 \; t_1 - 1\\t_1\\\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}8\\-9\\-5\\8\\\end{array}\right) \right\} \)