Eindeutigkeit eines unverzerrten Schätzers

Question

Aufgabe:

Sei \( X \) eine Zufallsvariable mit \( \mathcal{L}(X) \in\left\{P_{\vartheta} \mid \vartheta \in \Theta\right\} \). Sei \( T(X) \) eine suffiziente und vollständige Statistik für \( \vartheta \) sowie \( g_{1}, g_{2}: \operatorname{Bild}(T) \rightarrow \Theta \). Zeige: Wenn \( g_{1}(T) \) und \( g_{2}(T) \) unverzerrte Schätzer für \( \vartheta \) sind, dann gilt \( g_{1}(T)=g_{2}(T) P_{\vartheta} \)-fast sicher.

Problem/Ansatz:

Im Endeffekt muss ich ja  zeigen, dass es im wesentlichen nur einen von T abhängigen unverzerrten Schätzer gibt. Hat jemand eine Idee, wie ich hier vorgehen kann?

Comments

Sagt man jetzt "unverzerrt" anstatt "erwartungstreu"?

BLUE als Bester Linearer Unverzerrter SchEtzer....

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Die Begriffe sind beide gebräuchlich.

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Das steht auch so bei Wikipedia:

https://de.wikipedia.org/wiki/Erwartungstreue

Answer 1

Hallo :)

Das ist einer dieser Aufgaben, die bedrohlich aussehen, aber - sofern man die Begriffe dechiffriert - gar nicht so schwer sind.

Also los:

... die Schätzer sind unverzerrt, d. h. $$\mathbb{E}[g_1(T)] = \vartheta \quad \text{und} \quad \mathbb{E}[g_2(T)] = \vartheta \quad \text{für alle } \vartheta \in \Theta.$$ Wenn man die Gleichungen voneinander abzieht gilt (wegen der Linearität des Erwartungswerts):$$ \mathbb{E}[g_1(T) - g_2(T)] = 0$$

Und jetzt kommt die Vollständigkeit ins Spiel:

Da \( T(X) \) vollständig ist, folgt aus \( \mathbb{E}[g_1(T) - g_2(T) ]= 0 \) für alle \( \vartheta \in \Theta \), dass \( g_1(T) - g_2(T) = 0 \) \( P_\vartheta \)-fast sicher, also \(g_1(T)= g_2(T)\) \( P_\vartheta \)-fast sicher.

Mehr isses nicht! ;)