Stochastik: Die Eigenschaften eines Schätzers

Question

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es geht mir bei der Frage um keine spezielle Aufgabe, ich will viel mehr den Hintergrund des Themas welches wir aktuell behandeln verstehen, damit ich es bei den künftigen Themen einfacher habe.

Vor einiger Zeit sind wir in Statistik zum Thema Parameterschätzung gekommen. Die Parameter wie das λ einer Exponentialverteilung oder μ und σ² waren bis zu diesem Thema immer vorgegeben. So musste man die Paramter eigentlich nur in die jeweilige Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsfunktion einsetzen. Jetzt betrachten wir den Fall, dass wir die Parameter nicht mehr vorgegeben haben und diese mit Methoden wie der Maximum Likelihood Schätzung oder den Methoden der Momenten schätzen müssen. Das nächste Unterkapitel beschäftigt sich nun mit den Eigenschaften von Schätzern.

Meine erste Frage: Mit Schätzern ist doch der jeweilige Parameter gemeint, oder? Also der Schätzer von λ der Exponentialverteilung ist 1/x-Dach (x-Dach = Durchschnitt der Stichprobe)

Nun heißt es in diesem Unterkapitel, Schätzer können  als Schätzfunktionen dargestellt werden und als Zufallsvariablen betrachetet werden. Demnach haben sie laut Skript auch eine Dichtefunktion, einen Erwartungswert und eine Varianz. Das verwirrt mich ein wenig, da ich dachte nicht die Zufallsvariable besitzen Dichtefunktionen, Erwartungswert etc., sondern die Verteilung eines Experiments. Zuvor war im Skript immer die Rede davon, dass der Erwartungswert einer Poissonverteilung = ... ist und die Dichtefunktion der Normalverteilung ... ist. Wieso haben denn auf einmal auch Zufallsvariablen diese Eigenschaften? Unser Prof. sagte mit Hilfe der Eigenschaften eines Schätzers können wir feststellen, ob die Wahl des Schätzers eine Gute war oder eben nicht. Dazu sagte er, ein guter Schätzer sei erwartungstreu und die Varianz des Schätzers ist die geringste aller möglichen Varianzen.

Comments

Demnach haben sie laut Skript auch eine Dichtefunktion, einen Erwartungswert und eine Varianz. [...] Zuvor war im Skript immer die Rede davon, dass der Erwartungswert einer Poissonverteilung = ... ist und die Dichtefunktion der Normalverteilung ... ist.

Zunächst: Wenn \( (\Omega, \mathcal{A}, P) \) ein Wahrscheinlichkeitsraum ist, so nennt man eine messbare Abbildung \(X:\Omega \rightarrow \mathbb{R}\) reelle Zufallsvariable.

Da eine Zufallsvariable von einem Wahrscheinlichkeitsraum ausgeht, hat sie also auch immer eine Verteilung. Meistens interessiert man sich nicht sonderlich für den Wahrscheinlichkeitsraum und deshalb lässt man ihn auch meistens außer Acht und betrachtet nur die Verteilung genauer.

Man unterscheidet ja im Wesentlichen zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen, aber wie sind denn z.B. stetige Zufallsvariablen definiert? Eine Zufallsvariable ist genau dann stetig, wenn sie eine Dichte besitzt. Alternativ kann man auch sagen eine Zufallsvariable ist genau dann stetig, wenn ihre Verteilungsfunktion \(F_X(x)=P_X(X\leq x) \) stetig ist.

Daraus kannst du auch folgern, dass jede stetige ZV (eventuell) einen Erwartungswert und Varianz hat (beachte die Bedingung zur Existenz eines Erwartungswertes: \( \int_{-\infty}^{\infty} |x| f_X(x)dx < \infty \) wobei \(f_X\) die Dichte von \(X\) ist).

Wenn eine stetige ZV die spezielle Dichte hat, mit der man die Normalverteilung definiert, so nennt man die ZV eben normalverteilt. Und genau so hat eine normalverteilte ZV genau diese Dichte. Das verwirrt dich jetzt vielleicht etwas, aber wenn du kurz drüber nachdenkst, sollte es klick machen. Sonst noch mal fragen.

Zu sagen, eine Exponentialverteilung hat Erwartungswert \(\lambda^{-1}\) macht nicht so viel Sinn, denn per Definition des Erwartungswertes (zumindest nach der Definition, die ich kenne) haben tatsächlich nur Zufallsvariablen Erwartungswerte. Man meint mit der Aussage eben, dass eine exponentialverteilte ZV diesen Erwartungswert hat. Verteilungen haben wie gesagt keinen Erwartungswert.