Wann heißt eine Abbildung \phi: G \rightarrow H ein Gruppenhomomorphismus?

Question

Aufgabe:

Es seien \( (G, \circ) \) und \( (H, *) \) Gruppen.
(a) Wann heißt eine Abbildung \( \phi: G \rightarrow H \) ein Gruppenhomomorphismus?
(b) Es seien \( \phi, \psi: G \rightarrow H \) zwei Gruppenhomomorphismen. Zeigen Sie, dass
\( U:=\{g \in G \mid \phi(g)=\psi(g)\} \)
eine Untergruppe von \( G \) ist.
(c) Es sei \( G=H=S_{3} \) die Gruppe der Permutationen von \( \{1,2,3\} \). Finden Sie einen Homomorphismus \( \phi: S_{3} \rightarrow S_{3} \), für den die Untergruppe
\( \left\{g \in S_{3} \mid \quad \phi(g)=g\right\} \)
genau zwei Elemente enhält.
Hinweis:
Nutzen Sie den Signaturhomomor phismus:
\( \operatorname{sgn}: S_{n} \rightarrow\{-1,1\}, \sigma \mapsto(-1)^{\mid \operatorname{linv(\sigma )|}} \)
wobei
\( \operatorname{inv}(\sigma)=\{(i, j) \in\{1, \ldots, n\} \times\{1, \ldots, n\} \mid \quad i<j, \sigma(i)>\sigma(j)\} \)

Problem/Ansatz:

Hallo! Wäre mein Lösungsweg hier ansatzweise korrekt?

(a) Eine Abbildung \( \phi: G \rightarrow H \) heißt Gruppenhomomorphismus, wenn sie folgende Eigenschaft erfüllt: \( \phi(a \circ b)=\phi(a) * \phi(b) \) für alle \( a, b \in G \)

(b) Um zu zeigen, dass \( U \) eine Untergruppe ist, müsste man drei Eigenschaften nachweisen:

Abgeschlossenheit: Für \( a, b \in U \) gilt \( a \circ b \in U \)
Neutrales Element: \( e_{G} \in U \)
Inverse Elemente: Für \( a \in U \) gilt \( a^{-1} \in U \)
Beweis:
Seien \( a, b \in U \). Dann:
\( \phi(a \circ b)=\phi(a) * \phi(b)=\psi(a) * \psi(b)=\psi(a \circ b) \)

Also ist \( a \circ b \in U \)
Für das neutrale Element \( e_{G} \) :
\( \phi\left(e_{G}\right)=e_{H}=\psi\left(e_{G}\right) \text {, also } e_{G} \in U \)

Sei \( a \in U \). Dann:
\( \phi\left(a^{-1}\right)=[\phi(a)]^{-1}=[\psi(a)]^{-1}=\psi\left(a^{-1}\right) \)

Also ist \( a^{-1} \in U \)
Damit ist \( U \) eine Untergruppe von \( G \).
(c) Für \( S_{3} \) könnte man den Signaturhomomorphismus verwenden:
\( S_{3} \) hat 6 Elemente: \( \{e,(12),(13),(23),(123),(132)\} \)
Man definiere \( \phi: S_{3} \rightarrow S_{3} \) als:
\( \phi(g)=\left\{\begin{array}{ll} g & \text { wenn } \operatorname{sgn}(g)=1 \\ (12) \circ g & \text { wenn } \operatorname{sgn}(g)=-1 \end{array}\right. \)

Die Menge \( \left\{g \in S_{3} \mid \phi(g)=g\right\} \) besteht dann aus genau zwei Elementen:
dem neutralen Element \( e \)
der 3-Zykel (123)
Dies funktioniert, weil:
Für gerade Permutationen \( (\operatorname{sgn}(g)=1) \) : nur \( e \) und \( (123) \) werden auf sich selbst abgebildet
Für ungerade Permutationen \( (\operatorname{sgn}(g)=-1 \) ): keine wird auf sich selbst abgebildet

Vielen dank!

Answer 1

bei a fehlt, dass ein Homomorphismus f auch noch die Eigenschaft f(e) = e für das neutrale Element e erfüllen muss.

b und c sind richtig

Comments

Je nach Definition, die von der jeweiligen Vorlesung abhängt, wird \(f(e_G)=e_H\) nicht explizit gefordert. Dies folgt im Falle von Gruppen ohnehin bereits aus der von sopha08 genannten Eigenschaft.

Und c) ist nicht richtig gelöst:

1. Die angegebene Abbildung \(\phi\) ist kein Gruppenhomomorphismus.

2. Die Menge \(\{g\in S_3\;|\;\phi(g)=g\}\) ist drei-elementig statt zwei-elementig..

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Gerade erst gesehen, dass tobit schon entsprechend geantwortet hat.

Aber doppelt hält vielleicht besser :-).

(c) kann nicht stimmen, weil (123) die Ordnung 3 hat und somit nicht in einer 2-elementigen Untergruppe ein kann.

Für Gruppenhomomorphismen \(f:\,G\rightarrow H\) gilt \(f(e_G) = e_H\) automatisch.

Answer 2

(a):

Das ist korrekt.

(b):

Deine Antwort ist korrekt aber ewas umständlich, weil du nochmal die Gruppenaxiome nachweisen willst. Es reicht hier aus, ein Untergruppen-Kriterium anzuwenden:

Es reicht zu zeigen: \(g,h \in U \Rightarrow gh^{-1} \in U\)

Du brauchst also nur die erste Zeile deines Beweises zu (b) leicht anpassen und bist schon fertig.

(c): (korrigierte Version. Thanks @tobit)

Hier kannst du wie folgt "rückwärts" rangehen:
Wir wissen schon von (b), dass \(U=\{g\in S_3\:|\: \phi(g) = g\}\) eine Untergruppe ist.

Da \(|U|=2\) muss gelten: \(U = \{e, a\}\) mit \(a^2=e\).

(Idempotente Elemente (\(a^2=a\)) außer \(e\) gibt es nicht in \(S_3\).)

Jetzt kannst du einen Kandidaten für einen Homomorphismus \(\phi\) konstruieren. Dazu nimmst du dir als \(a\) eine Transposition, zum Beispiel: \(a=(12)\) und setzt:

\(\phi(e) = e;\:\phi(a) = a\)

Der Kern von \(\phi\) muss ein Normalteiler sein und das Bild von \(\phi\) eine Untergruppe. Als Bild bietet sich an:
\(\operatorname{Im}(\phi) = \{e,(12)\} \stackrel{Tipp}{\cong }\operatorname{sgn}(S_3)\)

Daher wählen wir als Kern:
\(\operatorname{ker}(\phi) = \operatorname{ker}(\operatorname{sgn}) = \{e,(123),(132)\}\)

Damit erhalten wir:
\(\phi(g) = \left\{\begin{array}{cl} e & g \in \{e,(123),(132)\} \\ (12) & g \in \{(12),(13),(23)\} \end{array}\right.\)

Comments

Auch dieser Vorschlag unter (c) für \(\phi\) ist kein Gruppenhomomorphismus.

Die vorgelegte vollständig richtige Lösung für (b) würde ich nicht als viel zu umständlich kritisieren. Es wird anhand der üblichen Definition einer Untergruppe nachgerechnet, dass eine Untergruppe vorliegt. Die Arbeit mit dem von trancelocation macht nur dann Sinn, wenn dieses Kriterium schon bekannt ist (anderenfalls ist es ziemlich umständlich, erst dieses Kriterium nachzuweisen). Zu beachten ist, dass dann neben der von trancelocation genannten Eigenschaft auch die Nichtleere von \(U\) nachzuweisen ist. Statt drei Punkten sind also bei bei dem von trancelocation vorgeschlagenen Vorgehen nur zwei Punkte nachzuweisen; dafür erfordert einer der beiden Punkte zwei Rechenschritte mehr und es ist mehr erläuternder Text (Verweis auf das angewandte Untergruppenkriterium, \(e_G\) als Zeuge der Nichtleere von \(U\)) nötig.

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@tobit
Richtig. (13)(123) = (12) bricht z. Bsp. die Homomorphie-Eigenschaft.