Ein Quadrat ist das symmetrischste Viereck in dem Sinne, dass es die meisten Kongruenzabbildungen besitzt. Man kann Vierecke nun nach Symmetrietypen sor- tieren; dies gibt das sogenannte Haus der Vierecke. Obwohl dies nicht erforderlich ist, werden oft lediglich konvexe Vierecke betrachtet. Zur Erinnerung sei gesagt, dass eine Teilmenge der Ebene oder des Raumes konvex genannt wird, wenn zu je zwei Punkten (Elementen) der Teilmenge deren Verbindungsstrecke in der Teilmenge liegt. Ist zum Beispiel V ein Viereck, welches eine Spiegelung als Kongruenzabbil- dung besitzt, so gibt es zunächst zwei Möglichkeiten. Geht die Spiegelungsgerade durch zwei (dann natürlich gegenüberliegende) Ecken des Vierecks, so müssen an jeder dieser Ecken von V beide angrenzende Kanten gleich lang sein. So ein Vier- eck heißt gerader Drachen. Ein gerader Drachen muss nicht konvex sein. Geht die Spiegelungsgerade durch zwei (automatisch gegenüberliegende) Kanten von V , so müssen diese senkrecht zur Spiegelungsgerade sein, und sind somit parallel. Zusätz- lich sind für jede dieser Kanten die angrenzenden Winkel gleich groß. So ein (dann zwingenderweise konvexes) Viereck heißt gerades Trapez. Besitzt V zwei Spiegelun- gen als Kongruenzabbildungen, und beide Spiegelungsgeraden gehen durch Ecken, so sind alle Kanten gleich lang. So ein Viereck heißt Raute. Eine Raute besitzt noch eine halbe Drehung als weitere Kongruenzabbildung. Besitzt V zwei Spiegelungen als Kongruenzabbildungen, und beide Spiegelungsgeraden gehen durch Kanten, so sind alle Winkel gleich groß. So ein Viereck heißt Rechteck. Auch ein Rechteck besitzt noch eine halbe Drehung als Kongruenzabbildung. Besitzt V eine halbe Drehung als Kongruenzabbildung, so sind gegenüberliegende Kanten parallel. So ein (notgedrun- generweise konvexes) Viereck heißt Parallelogramm. Besitzt V eine Vierteldrehung als Kongruenzabbildung, so sind alle Kanten gleich lang und alle Winkel gleich groß. Also handelt es sich bei V bereits um ein Quadrat. Besitzt V zwei Spiegelungen als Kongruenzabbildungen, wobei eine Spiegelungsgerade durch Ecken und die andere durch Kanten geht, so besitzt V die Kompositionen der beiden Spiegelungen als Kongruenzabbildung. Eine der beiden ist eine Vierteldrehung, also ist V wieder ein Quadrat. Ein Viereck, welches lediglich die Identität als Kongruenzabbildung besitzt, heißt unsymmetrisch
Das haben wir für Vierecke und genau sowas sollen wir für Sechsecke machen
