Bereichsintegral Quadrat, durch eine Fläche begrenzt

Question

Gegeben ist f(x,y)=x²y²-2xy²+x²+y²

Nun soll ich 1.) Zeigen, dass f(x,y)≥0 auf ℝ2 ist..

..und 2.) Das Volumen des Körpers berechnen, der über dem Quadrat 0≤x≤3, 0≤y≤3, z=0 oben von der Fläche begrenzt wird.

Komme da leider garnicht weiter. Zu 1.) hatte ich die Idee in Polarkoordinaten zu transformieren und r gegen unendlich bzw 0 laufen zu lassen. Für x=0,y≠0 ; x≠0,y=0 ; x,y=0 ist f ja schonmal auf jeden Fall größer gleich null, aber für x,y≠0 bin ich mir ziemlich unsicher. Kann da einer helfen?

LG William

Answer 1

Es ist \(f(x,y)=x^2y^2-2xy^2+x^2+y^2=y^2(x^2-2x+1)+x^2=y^2(x-1)^2+x^2\geq 0\).

Zu 2.: \(V=\int_0^3\int_0^3\!f(x,y)\,\mathrm{d}y\mathrm{d}x\).

Comments

Super, danke!

Zu 2.): Das Bereichsintegral/Mehrfachintegral soll doch dann über B={x,y∈ℝ²| 0<=x<=3, 0<=y<=3, 0<=z<=f(x,y)} integriert werden(?). Nehme ich als Integrand dann auch f(x,y)? Weil das ist ja sonst auch gleichzeitig die Obergrenze für z.

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Du musst hier nur das Doppelintegral berechnen. Wenn du die Fläche unter einer Funktion berechnest, dann hast du ja auch nicht \(f(x)\) irgendwo in den Grenzen stehen.

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Oh ja stimmt, da war ja was. Vielen Dank!!