Aloha :)
Du hast drei wichtige Kleinigkeiten übersehen. Der Grundkreis des Zylinders wird beschrieben durch:$$(x-1)^2+y^2\le2=(\sqrt2)^2$$Das ist ein Kreis mit Radius \(\sqrt2\) und Mittelpunkt \((1;0)\). Der Ortsvektor \(\vec r\) in Polarkoordinaten zum Abtasten des Volumens lautet daher:$$\vec r=\begin{pmatrix}1+r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;\sqrt2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[1;2]$$Die \(1\) bei der \(x\)-Koordinate fehlt bei dir.
Weiter hast du die Kreisfläche doppelt gewichtet, indem du \(r\) von \(-\sqrt2\) bis \(\sqrt2\) laufen lässt und den Winkel \(\varphi\) einen vollen Kreis \([0;2\pi]\) beschreiben lässt. Da der Winkel \(\varphi\) einen Vollkreis beschreibt, darfst du den Radius nur positiv wählen \(r\in[0;2\pi]\).
Dein letzter Bug ist, dass du die Verzerrung des Flächenelementes beim Übergang zu Polarkoordinaten nicht bedacht hast:$$dx\,dy\to r\,dr\,d\varphi$$Nachdem der Debugger drüber gelaufen ist, sollte das zu berechnende Integral so aussehen:
$$I=\int\limits_1^2dz\int\limits_0^{\sqrt2}\int\limits_0^{2\pi}(1+r\cos\varphi)\,r\,dr\,d\varphi=\left[z\right]_1^2\cdot\int\limits_0^{\sqrt2}dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\left(r+r^2\cos\varphi\right)$$$$\phantom{I}=(2-1)\int\limits_0^{\sqrt2}dr\left[r\varphi+r^2\sin\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}=\int\limits_0^{\sqrt 2}2\pi\,r\,dr=\left[\pi\,r^2\right]_0^{\sqrt2}=2\pi$$
