Bereichsintegral Zylinder mit Substitution in Polarkooridnaten

Question

Hallo, ich habe ein Bereichsintegral gegeben: $\int\int\int_{B}x dx dy dz$ wobei der Bereich in Zylinder in R3 ist und folgender maßen begrenzt ist: $B=\{(x,y,z)|1\leq z \leq 2,(x-1)^{2}+ y^2 \leq 2\}$. Jetzt habe ich eine Koordinatentranformation in Polarkooridnaten gemacht und den neuen Bereich $B_2=\{(r,\varphi,z)|1\leq z \leq 2,-\sqrt{2} \leq r \leq \sqrt{2},0 \leq \varphi \leq 2\pi \}$.

Weiters habe ich $x = r*cos(\varphi)$und $y = r*sin(\varphi)$ gesetzt. Durch die Substitutionsregel habe ich nun folgendes Integral:$$\int_{1}^{2}\int_{-\sqrt{2}}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{2\pi}r^2cos(\varphi )d\varphi dr dz$$

Dies ist jedoch 0 und ich glaube ich habe da einen Fehler. Kann mir da jemand helfen? Vermutlich ein Fehler bei der Substitution da hier (x-1)² steht.

Comments

Hallo,

der Boden ist ein Kreis mit Mittelpunkt $(1,0)$. Daher sind die Polarkoordinaten so zu definieren:

$$x=1+r \cos(\phi), \qquad y=r \sin(\phi) ,$$

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Und mit dem r geht es doch auch nur von 0 bis √2 oder?

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Ja, das hatte ich bei meinem Kommentar übersehen, also nur $0 \leq r \leq \sqrt{2}$

Gruß

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super danke!

Answer 1

Aloha :)

Du hast drei wichtige Kleinigkeiten übersehen. Der Grundkreis des Zylinders wird beschrieben durch:$$(x-1)^2+y^2\le2=(\sqrt2)^2$$Das ist ein Kreis mit Radius $\sqrt2$ und Mittelpunkt $(1;0)$. Der Ortsvektor $\vec r$ in Polarkoordinaten zum Abtasten des Volumens lautet daher:$$\vec r=\begin{pmatrix}1+r\cos\varphi\\r\sin\varphi\\z\end{pmatrix}\quad;\quad r\in[0;\sqrt2]\;;\;\varphi\in[0;2\pi]\;;\;z\in[1;2]$$Die $1$ bei der $x$-Koordinate fehlt bei dir.

Weiter hast du die Kreisfläche doppelt gewichtet, indem du $r$ von $-\sqrt2$ bis $\sqrt2$ laufen lässt und den Winkel $\varphi$ einen vollen Kreis $[0;2\pi]$ beschreiben lässt. Da der Winkel $\varphi$ einen Vollkreis beschreibt, darfst du den Radius nur positiv wählen $r\in[0;2\pi]$.

Dein letzter Bug ist, dass du die Verzerrung des Flächenelementes beim Übergang zu Polarkoordinaten nicht bedacht hast:$$dx\,dy\to r\,dr\,d\varphi$$Nachdem der Debugger drüber gelaufen ist, sollte das zu berechnende Integral so aussehen:

$$I=\int\limits_1^2dz\int\limits_0^{\sqrt2}\int\limits_0^{2\pi}(1+r\cos\varphi)\,r\,dr\,d\varphi=\left[z\right]_1^2\cdot\int\limits_0^{\sqrt2}dr\int\limits_0^{2\pi}d\varphi\left(r+r^2\cos\varphi\right)$$$$\phantom{I}=(2-1)\int\limits_0^{\sqrt2}dr\left[r\varphi+r^2\sin\varphi\right]_{\varphi=0}^{2\pi}=\int\limits_0^{\sqrt 2}2\pi\,r\,dr=\left[\pi\,r^2\right]_0^{\sqrt2}=2\pi$$

Comments

Oh super erklaert danke!!