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Aufgabe 2 (7 Punkte)
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Es sei \( \mathrm{Pol}_{2} \mathbb{R} \) der Vektorraum der reellen Polynome vom Grad höchstens 2 mit den Basen
\( \mathcal{B}: 1, X, X^{2} \text { und } \mathcal{C}: 1,-X, 2+X^{2} \text {. } \)
Weiterhin soll die lineare Abbildung \( \varphi: \mathrm{Pol}_{2} \mathbb{R} \rightarrow \mathrm{Pol}_{2} \mathbb{R} \) die folgenden Bedingungen erfüllen:
\( \varphi(-1)=-2 X, \quad \varphi(X-1)=-2-7 X, \quad \varphi\left(-2 X^{2}+3 X\right)=-8-7 X-6 X^{2} . \)
(a) Bestimmen Sie:
(b) Bestimmen Sie \( { }_{\mathcal{B}} \varphi_{\mathcal{B}},{ }_{\mathcal{C}} \varphi_{\mathcal{C}} \) und \( { }_{\mathcal{B}} \mathrm{id}_{\mathcal{C}} \) :
\( { }_{\mathcal{B}} \varphi_{\mathcal{B}}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & -2 & 1 \\ 2 & -5 & -4 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right),{ }_{\mathcal{C}} \varphi_{\mathcal{C}}=\left(\begin{array}{ccc} 0 & 2 & -5 \\ -2 & -5 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{array}\right),{ }_{\mathcal{B}} \mathrm{id}_{\mathcal{C}}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) . \)
Hallo, bei folgender Aufgabe weiß ich leider nicht, wie man auf die Lösung gekommen ist. Muss ich eine Partialbruchzerlegung durchführen?
