Bestimmen Sie das Polynom p, das f an diesen 3 Punkten interpoliert...

Question

Eine offene Integrationsformel verwendet keine Werte der Funktion an den Endpunkten des Intervalls. Zum Beispiel, um $$ \int \limits_{-2}^{2}f(x)dx $$ zu berechnen, teilen wir [−2, 2] in vier gleich große Teilintervalle auf und approximieren $$ \int \limits_{-2}^{2}f(x)dx $$ durch das Integral eines Polynoms vom Grad kleiner oder gleich 2, das f an den inneren Punkten −1, 0 und 1 interpoliert.

Bestimmen Sie das Polynom p, das f an diesen 3 Punkten interpoliert (Die Koeffizienten des Polynoms p hängen von der Funktion f ab).

Wie sollte ich anfangen?
Kann mir jemand einen Ansatz aufschreiben?

Answer 1

Für die Polynominterpolation gibt es Formeln (Lagrange, Newton). Die kannst Du nachschlagen und einsetzen, was Du hast (Knoten \((-1,f_{-1}),(0,f_0),(1,f_1))\) und damit das Polynom aufstellen.
Danach geht es vermutlich weiter in der Aufgabe (anzunehmen, mit Integral war ja noch nichts).

Vermutlich: Integrieren, Integrationsformel aufstellen.

Comments

Genau. Als zweite Aufgabe kommt dann:
2. Integrieren Sie p über [−2, 2] mithilfe der einfachen Simpson-Regel, um eine Integrationsformel für \( \int \limits_{-2}^{2}f(x)dx \) zu erhalten. Integrieren Sie dann p exakt über das Intervall [−2, 2] und vergleichen Sie die erhaltene Formel mit der Simpson-Regel. Wie lässt sich dieses Ergebnis erklären?

Jetzt stellt sich mir nur die Frage was mit "exakt" gemeint ist. Wahrscheinlich so wie wir es von früher aus der schule kennen oder?
Und falls ja sollte ich in 4 Intervallen rechen oder reicht von -2 bis 2

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Steht ja eigentlich alles da. p ist ein Polynom vom Grad 2, damit kann man problemlos integrieren. Und "exakt über [-2,2]" heißt ohne Intervallaufteilung.

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Hmm nungut jetzt habe ich für die S-Regel: \( \frac{8a-4b+8c}{3} \) und bei der "exakten" Berechnung: \( \frac{4b+8a}{3} \) rausbekommen wobei a=f(-1), b=f(0) und c=f(1) ist. (Sofern ich alles richtig berechnet habe)

Magst du mir vielleicht einen Tipp bezüglich der Beobachtung geben? Den die nächste Aufgabe lautet wie folgt:

Verwenden Sie die erhaltene Formel, um eine Approximation für \( \int \limits_{0}^{1}ln(x)dx \) zu berechnen. Berechnen Sie den Fehler dieser Approximation, indem Sie den genauen Wert dieses Integrals verwenden.

Aber welche erhaltene Formel wird gemeint? Die die \( \frac{8a-4b+8c}{3} \) auf \( \frac{4b+8a}{3} \) bringt?

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Wie lautet denn Dein Polynom?

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Mein p(x) war: $$ a\frac{x(x-1)}{2}+b(1-x^2)+c\frac{x(x+1)}{2} $$ wobei a=f(-1), b=f(0) und c=f(1)

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Und das hast Du nicht vereinfacht, um leichter integrieren zu können?

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Ich komme bei der S-Regel auch auf Dein Ergebnis, aber beim exakten Integral auf ... genau das gleiche (d.h. das gleiche wie bei der S-Regel).

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Wie errechnest du den das exakte Integral?

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mit wolframalpha ;-)

Wenn ich es von Hand machen müsste, würde ich es erstmal vereinfachen.

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Danke, komme jetzt auf das selbe Ergebnis. Jetzt bin ich dennoch verwirrt welche erhaltene Formel ich hätte zusätzlich sehen müssen.
Magst du mir vielleicht eine "Bedienungsanleitung" für:

Verwenden Sie die erhaltene Formel, um eine Approximation für \( \int \limits_{0}^{1}ln(x)dx \) zu berechnen. Berechnen Sie den Fehler dieser Approximation, indem Sie den genauen Wert dieses Integrals verwenden.

geben?

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Wie bei Deiner Originalfrage ganz oben fragst Du, was zu tun ist, dabei steht es ganz klar da. Wo genau ist das Problem?

Was Du mit "hätte sehen müssen" meinst, versteh ich nicht.

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nudger ich hätte da die Frage, wie ich bei ln(x) mit der Formel ln(0) bestimmen kann, das ist ja nicht definiert bzw wissen wir nur dass der limes von ln(x) der gegen 0 strebt minus unendlich ist. Die Formel ist hierfür doch einfach nicht geeignet oder? Der Fehler müsste dann auch kleiner gleich unendlich sein oder sehe ich das falsch?

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Die hergeleitete Formel ist für \(\int\limits_{-2}^2\), lies genau um welches Integral es jetzt gehen soll und transformiere, falls notwendig.

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also könnte ich als Punkte für meine Interpolierung 1/4, 1/2, 3/4 nehmen, meinst du das mit Transformierung?

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Ist jetzt MatheStudi2=Math Study? Ich wüsste gerne, ob ich mit ein oder zwei Leute rede, es ist auch so genug verwirrend. Bitte bleib ggf bei einem usernamen.

Mit der Substitutionsregel kann man Integrale ineinander überführen, dabei ändern sich die Integrationsgrenzen. Wiederhole diese Themen.

Hier tut es eine lineare Transformation aus der Schule, um [0,1] auf [-2,2] zu überführen: \(u=4x-2\).

Wiederhole das. Das ist grundlegendes Handwerkszeug bei der Benutzung von Formeln jeder Art.

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Erstmal danke für die Antwort, ich habe auch über Substitution nachgedacht, aber selbst wenn ich substituiere bleibt doch dass Problem, dass mein f(0)  immer noch ln(0) bleibt oder geht das weil wir jetzt in u sind auf f(x=0) auf f(u=-2) (was ich nicht denke, da das doch Konstanten sind) in der Formel die wir hergeleitet haben. Und nein wir sind nicht die gleichen, ich muss auch die Aufgaben erledigen und bin hier durch Zufall drauf gestoßen.

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Ok, dann hast Du (MatheStudi2) hoffentlich auch bis hierhin alles durchgearbeitet. Also ergänze: \(\int\limits_0^1\ln x\, dx = \int\limits_{-2}^2...?\)

Und dann wende die erhaltene Formel an. Über auftauchende Probleme reden wir, wenn sie auftauchen, aber nicht vorher.

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Danke, ich hab es jetzt gesehen, hatte einen dummen Denkfehler.

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Hey @MatheStudi2 magst du vielleicht dein Ergebnis präsentieren?

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Präsentier Du doch mal Dein Ergebnis, Mathe Study.

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 \( \int\limits_{0}^{1} \)ln(x) dx = \( \frac{1}{4} \)\( \int\limits_{-2}^{2} \)ln(\( \frac{1}{4} \)t+\( \frac{1}{2} \))dt dein f(t)=ln(\( \frac{1}{4} \)t+\( \frac{1}{2} \)) jetzt ist dein f(0)=ln(1/2) f(-1)=ln(1/4) und f(1)=ln(3/4) stumpf in die formel einsetzen und das ergebnis am ende durch 4 teilen, wobei t gleiche Transformation ist, wie von nudger.

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Habe die Aufgabe leider nicht ganz verstanden, und dachte das ich es besser verstehen würde wenn mein (wahrscheinlicher) Kommilitone es mir kurz erläutern könnte.

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Danke @MatheStudi2, guter Name btw.

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Vom Vorgerechnet-kriegen lernst Du aber nichts. Es ist was völlig anderes eine vorgerechnete Lösung zu verstehen als sie sich selbst zu erarbeiten.
Dabei geht es bei solchen Aufgaben: Sich selbst auseinander setzen und finden was zu tun ist. Hilfe gibt's natürlich bei Fragen.

Heißt: Bei solchen Aufgaben geht es NIE um das Ergebnis (wen interessieren solche Formeln schon?), sondern um das Üben des Umgangs mit den Begriffen, das genaue Lesen der Aufgabenstellung usw.

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Mathe Study wir beide waren gleich kreativ bei der Namensgebung haha

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Hallo @nudger.

Alles klar, ich werde mein Bestes geben, die Aufgaben eigenständig zu begreifen. Falls ich jedoch Schwierigkeiten habe, werde ich mich bei dir melden. Ich war wohl nicht ganz auf der Höhe und habe die Aufgabe aufgegeben.

Mein Fehler.