Rekursive Folge Bestimmen Grenzwert

Question

Aufgabe:

(a) Die Folge \( \left(f_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) wird rekursiv definiert durch \( f_{1}:=7 \), und \( f_{n}:=-2 f_{n-1} \) für \( n>1 \). Bestimmen Sie \( \lim \limits_{n \in \mathbb{N}} f_{n}=++\infty \).

(b) Die Folge \( \left(g_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) wird rekursiv definiert durch \( g_{1}:=7 \), und \( g_{n}:=g_{n-1}+\frac{1}{n^{2}} \) für \( n>1 \). Bestimmen Sie \( \lim \limits_{n \in \mathbb{N}} g_{n}=\frac{36+\pi^{2}}{6} \).

(c) Die Folge \( \left(h_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) wird rekursiv definiert durch \( h_{1}:=7 \), und \( h_{n}:=h_{n-1}+\frac{(-1)^{n}}{n} \) für \( n>1 \). Bestimmen Sie \( \sup _{n \in \mathbb{N}} h_{n}=\quad \frac{15}{2} \quad \) und \( \inf _{n \in \mathbb{N}} h_{n}=7 \).

Answer 1

Wenn man sich die ersten Folgenglieder aufschreibt sieht man, dass der Betrag immer kleiner wird. Für \(n=2\) ist dann schon der größte Wert der Folge erreicht. Den kleinsten Wert haben wir offensichtlich für \(n=1\).