Besitzt diese rekursive Folge einen Grenzwert?

Question

Aufgabe:

a_n+1  = \( \frac{7 + 3an}{3 + an} \)

a0 =3
Besitzt diese Folge einen Grenzwert?

Answer 1

Grenzwert ist √7.

Zeige die Konvergenz und dann :

Für den Grenzwert g gilt

g= (7+3g) / ( 3+g) ==>  g=±√7 aber g>0.

Comments

Kann man diesen auch ohne Fixpunktgleixhung zeigen?

Und wie zeigt man Konvergenz bei rekursiven Folgen?

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Und wie zeigt man Konvergenz bei rekursiven Folgen?

z.B. mit :  monoton fallend und nach unten beschränkt:

Für alle n∈ℕ gilt a_n > √7. Denn es gilt für n=0

und wenn es für ein n gilt, dann

a_n > √7 | *(√7  - 3 )   [ist negativ ! ]

==>  a_n *(√7  - 3 ) < √7*(√7  - 3 )

==>  a_n *√7  - 3a_n  < 7 - 3√7

==>  a_n *√7 +  3√7  < 7 +  3a_n

==>  (a_n + 3  )*√7   < 7 +  3an

\( \sqrt{7} \lt \frac{7 + 3an}{3 + an} \) also a_n+1 > √7.

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Und die Konvergenz ist noch zu beweisen?

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nach unten beschränkt habe ich ja vorgemacht.

Musst noch: " monoton fallend "  zeigen.

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Müsste Beschränktheit nicht ausreichen?

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(-1)^n ist auch beschränkt, aber nicht konvergent.

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a_n+1 - a_n ≤ 0

\( \frac{7+3a}{3+a} \)-a = - \( \frac{a^{2}-7}{a+3} \)

Ist stets kleiner als 0 wegen der Beschränktheit