Es sei \(c_1=\sqrt{2}\) und \(c_{n+1}=\sqrt{2+c_n}\) für \(n\in \mathbb{N}\)
Meine Herangehensweise:
\(c_n\) ist beschränkt
(i) Z. z. ist: \(\forall n\in \mathbb{N}: c_n<2\)
Nach dem Prinzip der vollständigen Induktion:
(IA) für \(c_1=\sqrt{2}\), dann ist \(c_1=\sqrt{2}<2 \quad \checkmark\)
(IV) \(\exists n\in \mathbb{N}:c_n <2\)
(IS) "\(n\Rightarrow n+1\)"$$c_{n+1}<2 \Leftrightarrow c_{n+1}^2<4 \Leftrightarrow 2+\overbrace{c_n}^{>2} <4 \quad \Box$$Im zweiten Teil zeige ich, dass die Folge monoton wächst. Also \(\forall n\in \mathbb{N}:c_n\leq c_{n+1}\).
(ii)$$c_n \leq c_{n+1} \Leftrightarrow c_n^2 \leq c_{n+1}^2 \Longleftrightarrow c_n^2\leq 2+c_n \Longrightarrow c_n\leq 2$$ Dass \(c_n\geq -1\) ist, kommt nicht in Frage (offensichtlich genug, oder Beweis wert?)
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Ich brauche jetzt noch ein handfestes Argument, warum die Folge konvergiert und für den Grenzwert. Ich argumentiere so:
Da die Folge nach oben durch \(2\) beschränkt ist und sie monoton wächst, konvergiert die Folge nach dem Monotoniekriterium.
Der Grenzwert ist \(\lim\limits_{n\to\infty}c_n=2\). Aber warum eigentlich genau? Die Folgenglieder "schmiegen" sich immer näher dem Supremum \(2\) an, das ist klar, aber reicht das, wenn ich das so salopp formuliere?
