Aufgabe:
Rekursive Folge
Die reelle Folge \( \left(a_{n}\right) \) sei rekursiv definiert durch \( a_{1}:=1 \quad \) und \( \quad a_{n+1}:=\frac{1}{\sum \limits_{k=1}^{n} a_{k}} \) für \( n \geq 1 \).
Zeigen Sie, dass die Reihe \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} a_{k} \) divergiert und \( \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 \) gilt.
Problem/Ansatz:
Kann man zeigen, dass sie divergiert, indem man mehrere Folgeglieder ausrechnet? Weil zum Beispiel bei a2 würde dann ja wieder 1 rauskommen. Könnte man daraus schließen, dass die Folge divergiert? Also reicht das als Beweis?
Aber irgendwie macht das ja wieder keinen Sinn, weil bei a3 würde ja nicht mehr 1 rauskommen, dann wäre die ja doch Konvergent... ich bin jetzt komplett verwirrt...
Und wie zeigt man das mit dem Limes?
