Untervektorräume zeigen oder widerlegen

Question

Aufgabe:

Seien \( U, W \) zwei UVR eines \( K \)-VR \( V \). Zeigen oder widerlegen Sie:
(i) \( U \cup W \) ist ein Untervektorraum von \( V \).
(ii) \( U+W=\{\mathbf{u}+\mathbf{w} \in V: \mathbf{u} \in U \), \( \mathbf{w} \in W\} \) ist ein UVR von \( V \).

Answer 1

Meine Lösung dazu:

(i) Gilt nicht, finde geeignetes Gegenbeispiel

(ii) Schritt 1: zeige U + W ≠ {}, indem 0 ∈ U + W

Schritt 2: zeige Abgeschlossenheit bzgl. Addition u+w = (u1 + w1) + (u2 + w2) = (u1 + u2) + (w1+ w2)

Schritt 3 :Zeige Abgeschlossenheit bzgl. skalarer Multiplikation λv = λ(u+w) = λu + λw

Leider ist schon in 7h Abgabe, hoffe das erreicht dich noch rechtzeitig