a) Bestimmen Sie einen Funktionsterm \( f(x) \) für den abgebildeten Kanalboden.
Scheitelpunktform der Parabel
\( f(x)=a \cdot (x-x_S)^2+y_S \)
Scheitel bei \(S(0|0)\)
\( f(x)=a \cdot (x)^2\)
\(P(4|2)\): \( f(4)=a \cdot 4^2=16a=2\) \( a=\frac{1}{8}\)
\( f(x)=\frac{1}{8} \cdot x^2\)
b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der abgebildeten Querschnittsfläche des Kanals.
\(A= 2 \cdot \frac{1}{8} \cdot\int\limits_{0}^{4} x^2 dx=[\frac{x^3}{3}]_{0}^{4}=[\frac{64}{3}]-[0]\)
\(A= \frac{1}{4} \cdot\int\limits_{0}^{4} x^2 dx=[\frac{x^3}{3}]_{0}^{4}=[\frac{64}{3}]-[0]\)
\(4A= \int\limits_{0}^{4} x^2 dx=[\frac{x^3}{3}]_{0}^{4}=[\frac{64}{3}]-[0]\)
\(A=\frac{16}{3} m^{2} \)
c) Verwenden Sie die Funktion f, die den Kanalboden beschreibt, und betrachten Sie den um zwei Einheiten nach unten verschobenen Graphen der Funktion \( g \) mit \( g(x)=f(x)-2 \). Die x-Achse beschreibt nun die Wasseroberfläche. Berechnen Sie mithilfe der Funktion g den Flächeninhalt der Querschnittsfläche.
Die Flächenstücke unter der Parabel A,B und U sowie U,C und D sind zusammen \(A=\frac{16}{3} m^{2} \) groß.
Das Rechteck A, B,C und D ist \(8\cdot 2=16m^{2}\) groß.
Somit ist die gesuchte Fläche \(A=16m^{2}-\frac{16}{3} m^{2}=\frac{32}{3}m^{2}\) groß.
