Parametrisierung einer Menge

Question

Aufgabe:

 $$\int_{\partial \Omega}\left(x^2 y^3, x z+x y^4, \cos (x y)\right)^T \cdot \nu$$ mit dem beschränkten $C^1$-Gebiet $$\Omega:=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^4+z^6<1\right\}$$

Problem/Ansatz:

Ich bekomme Omega nicht parametrisiert. Kann mir jemand helfen?

Ich habe den Satz von Gauss benutzt und muss jetzt noch Omega parametrisieren damit ich das Integral lösen kann. :(

Comments

Überlege dir, ob eine Parametrisierung aufgrund der Symmetrie von Ω und der Symmetrie von div f überhaupt nötig ist.

Ansonsten berechne z.B. \( \int\limits_{-1}^{1} \int\limits_{-\sqrt[4]{1-x^2}}^{\sqrt[4]{1-x^2}} \int\limits_{-\sqrt[6]{1-x^2-y^4}}^{\sqrt[6]{1-x^2-y^4}}div f \;dz \;dy \;dx \)
aber besser mit anderer Integrationsreihenfolge.

Answer 1

Aloha :)

Die Menge \(\Omega\) beschreibt ein eingeschränktes Volumen. Du sollst den Fluss eines Vektorfeldes durch die Oberfläche \(\partial\Omega\) dieses Volumens bestimmen. Dazu bietet sich hier der Gauß'sche Satz an, mit dem du das Oberflächenintegral über \(\partial\Omega\) in eine Volumeintegral über \(\Omega\) transformieren kannst.

$$\phi=\oint\limits_{\partial\Omega}\begin{pmatrix}x^2y^3\\xz+xy^4\\\cos(xy)\end{pmatrix}d\vec f=\int\limits_{\Omega}\operatorname{div}\begin{pmatrix}x^2y^3\\xz+xy^4\\\cos(xy)\end{pmatrix}dV=\int\limits_{\Omega}(2xy^3+4xy^3+0)\,dV$$$$\phantom\phi=\int\limits_{x=-1}^1\;\;\int\limits_{y=-\sqrt[4]{1-x^2}}^{\sqrt[4]{1-x^2}}\;\;\int\limits_{z=-\sqrt[6]{1-x^2-y^4}}^{\sqrt[6]{1-x^2-y^4}}6xy^3\,dx\,dy\,dz$$Da der Integrand gar nicht von \(z\) abhängt, ist das Integral über \(dz\) geschenkt:$$\phi=\int\limits_{x=-1}^1\;\;\int\limits_{y=-\sqrt[4]{1-x^2}}^{\sqrt[4]{1-x^2}}6xy^3\cdot2\sqrt[6]{1-x^2-y^4}\,dx\,dy=0$$

Da der Integrand punktsymmetrisch bezüglich \(y\) ist und das Integrationsintervall symmetrisch um \(y=0\) herum liegt, verschwindet das Integral über \(dy\), sodass das Gesamtergebnis \(0\) ergibt.