Aufgabe: Achtung ! Copy n Paste!
Seien V und W K-Vektorräume der Dimension n = dim V = dim W und a
und b geordnete Basen von V bzw. W. Zeigen Sie
a) Eine lineare Abbildung ϕ: V → W ist genau dann ein Isomorphismus, wenn b[ϕ]a in
GLn(K) liegt.
b) Es gilt
a[ϕ
−1
]b = b[ϕ]
−1
a
c) Die Abbildung
a[ ]a : EndK(V ) → Mn(K), ϕ 7→ a[ϕ]a
ist ein Ringisomorphismus.
d) Folgern Sie: Diese Abbildung induziert einen Gruppenisomorphismus
a[ ]a : AutK(V ) → GLn(K)
Ansätze:
a) Ist der Isomorphismus damit gezeigt wenn die Matrix Invertierbar ist ? Wenn ja, warum ?
b) Das Inverse der Abbildungsmatrix soll gleich dem Inversen einer Abbildungsmatrix sein, welche die Basen in anderer Reihenfolge stehen hat.
Welchen Einfluss hat die Reihenfolge der Basen auf die Abbildungsmatrix ? Und worin liegt der Unterschied zwischen phi invers und das Inverse der Abbildungsmatrix ?
C) Laut meinem VL Skript reicht es zu zeigen, dass die Abbildung K-Linear ist und daraus folge die Injektivität nach 2 Schritten. Setzt das eine Surjektion voraus, wenn ja, ist es so, dass sich jegliche Vektoren aus dem Endomorphen Räumen V und W die gleichen sind und auf die gleiche Matrix abbilden ?
d)
Hätte jetzt stumpf gesagt, dass es ein Gruppenhomomorphismus ist weil es ein Automorphistische Abbildung ist.
Also gemeint ist V=W und F/Phi ist Bijektiv.
Ich hab noch b) und d) schriftlich nicht verfasst und es ist mir unklar ob das was ich stehen hab ausreicht.
Wegen jeglicher schlechter Darstellungen der Aufgabe möchte ich mich entschuldigen.
