Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen der folgenden Abbildungen

Question

Sei U = ⟨\( \begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix} \), \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)⟩ ⊆ ℝ³. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen der folgenden Abbildungen (bzgl. der Standardbasis):

a) der Projektion h : ℝ³ → ℝ³ mit im h = U und ker h = ⟨(1, 0, 0)⟩,
b) der Orthogonalprojektion h : ℝ³ → ℝ³ mit im h = U ,
c) einer Drehung um 45^◦ in der Ebene U (d.h. um die Drehachse U^⊥).

Answer 1

a)  Es ist bekannt  \( h(\begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \) (von wegen Kern !)

und wegen der Projektionseigenschaft h(h(x))=h(x):

\( h(\begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix} \)

und \( h(\begin{pmatrix} 1\\0\\1  \end{pmatrix} )= \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Wegen \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1  \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\0\\1  \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1\\0\\0  \end{pmatrix} \)

gilt \( h( \begin{pmatrix} 0\\0\\1  \end{pmatrix}) =h( \begin{pmatrix} 1\\0\\1  \end{pmatrix}) -h( \begin{pmatrix} 1\\0\\0  \end{pmatrix} ) =\begin{pmatrix} 1\\0\\1  \end{pmatrix}\)

und wegen \(  \begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1\\0\\0  \end{pmatrix}-2\begin{pmatrix} 0\\1\\0  \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix} 0\\0\\1  \end{pmatrix}\)

folgt \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0  \end{pmatrix}= -0,5\begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix} +0,5\begin{pmatrix} 1\\0\\0  \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0\\0\\1  \end{pmatrix}\)

also \( h(\begin{pmatrix} 0\\1\\0  \end{pmatrix})= -0,5h(\begin{pmatrix} 1\\-2\\2 \end{pmatrix}) +0,5h(\begin{pmatrix} 1\\0\\0  \end{pmatrix})+h(\begin{pmatrix} 0\\0\\1  \end{pmatrix})\)

also ist die Matrix \(  \begin{pmatrix} 0&0,5&1\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix} \).

Comments

Danke für die Antwort! Kann ich bei b) dann einfach sagen, dass jeder Vektor auf sich selbst abgebildet wird?

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Bei der Othogonalprojektion kannst du doch auch den

Kern bestimmen, der besteht aus den Vielfachen eines

Normalenvektors der Ebene. Also z.B. \( \begin{pmatrix} -2\\-1\\2 \end{pmatrix} \)

Wenn du den hast, geht es wie bei a).

Und bei c) wird so ein Normalenvektor auf sich selbst abgebildet.