Abbildungsmatrizen bezüglich verschiedener Basen

Question

Es sei U = {v ∈ R 3 : (v |n) = 0} mit n = (1, 1, 1) >und Φ : R 3 → R 3 die Orthogonale Projektion auf U. (a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix MB B (Φ) bezüglich einer von Ihnen geeignet gewählten Basis. 

(b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix ME E (Φ) bezüglich der Standardbasis des R 3 . 

(c) Bestimmen Sie kerΦ und das Bild Φ(R 3 ). 

(d) Sei nun Φ 0 : R 3 → U die Einschränkung von Φ auf sein Bild. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix ME C (Φ 0 ), wobei C eine von Ihnen gewählte Basis von U ist.

Jemand hat eine Idee ?

Comments

Was soll denn (v|n)=0 bedeuten ?

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Das Skalarprodukt ,dh n und v sind orthogonal

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Vom Duplikat:

Titel: Abbildungsmatrix bezüglich verschiedener Basen

Stichworte: vektoren,basis,matrix

ich habe folgendes Problem ich habe aus Der Basis B$$ \begin{pmatrix} 1\\-1\\0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\1\\-1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} $$

die Ablidungs Matrix \begin{pmatrix}  1 & 0 & 0\\ 0 & 1&0\\0 &0&1 \end{pmatrix}

herausbekommen wobei B auf B abgebildet wird.

Jetzt will ich ich als Basis die Standardbasis im R3 nehmen, ich weiß aber nicht wie das geht.

Grüße Jan Mackensen

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Welche Abbildung gehoert denn zu der angegebenen Matrix? Kannst Du das sagen?

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Das ist eine Orthogonale Projektion auf auf die Gerade U. Wobei U die Menge vom Sklarprodukt von v und n ist die gleich 0 ist , mit v∈R3 und n=(1,1,1)^T

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Sicher nicht. Zur Einheitsmatrix gehoert immer die Identitaet und umgekehrt (Basis egal).

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 Orthogonale Projektion auf auf die Gerade U. sicher? 

Die Fortsetzung erinnert eher an eine Ebene. 

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Ups das mit der Garden stimmt nicht sorry.

@Fakename wie meinst du das?

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@Magi: Versuche die Abbildung nochmals präziser zu beschreiben. 

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Ich hoffe jetzt ist es verständlich

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@Fakename wie meinst du das?

Dass Du Dich nicht zu fragen brauchst, wie die darstellende Matrix für die Identitaet ausssieht. Es ist bezueglich jeder Basis die Einheitsmatrix. Und entsprechend ist die Einheitsmatrix auch keine darstellende Matrix für Deine orthogonalen Projektion. Egal welche Basis und egal welche orthogonalen Projektion.

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Und was ist dann deiner Meinung nach darstellende Matrix?

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Etwas, das sich in jedem Falle von der Einheitsmatrix unterscheidet!

Die Aufgabe war gestern schon hier. In Teil a) wurde verlangt, dass man sich selber eine Basis ausdenkt, in der die darstellende Matrix besonders simpel rauskommt. Was Du als Basis genommen hast (ganz oben in Deiner Frage), ist gar keine. Die Summe der ersten beiden Vektoren ist der dritte.

Als Tipp: Was kann man ueber \(\Phi(u)\) für \(u\in U\) sagen? Was ueber \(\Phi(n)\)?

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https://www.mathelounge.de/499634/abbildungsmatrizen-bezuglich-verschiedener-basen

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Ich sage jetzt mal (kenne aber die Frage von gestern nicht und bin auch gleich weg) 

Phi(u) = u für u Element U und Phi(n) = 0  (Nullvektor) .

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@fakename EDIT: Sollen wir diese Frage auf die andere umleiten (oder umgekehrt)? 

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Teil deiner Frage hier https://www.mathelounge.de/500059/abbildungsmatrix-bezuglich-verschiedener-basen 

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okay vielen dank, ich glaube ich versuche es mit euren Hinweisen einfach nochmal von vorne ;D

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@Lu: Bei der anderen Frage gibt es den vollstaendigen Aufgabentext. Hier nicht.

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Wir müssen eine Basis wählen und dann ? 

Answer 1

Teilaufgabe a) 

Vorschlag Basis für magi: 

B = { (1,0,-1), (1,-1,0), (1,1,1) } 

Abbildungsmatrix hat die Bildvektoren der Basisvektoren in den Spalten. Die Vektoren in der Projektionsebene sind Fixvektoren der Projektion. Der Normalenvektor auf der Projektionsebene wird auf den Nullvektor abgebildet. Der Abbildungsmatrix A nun bezüglich der Basis B ist deshalb: 

A = 

( 1    0       0

  0    1      0

0     0       0)

Comments

Könntest du das ein wenig genauer bitte erläutern, kann dem ehrlich gesagt nicht folgern :s

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Ich weiss nicht, wo ich anfangen soll. Ausführlicher geht es bei a) meiner Meinung nach nicht.

1. Was aus meinem Text verstehst du denn nicht?

2. Was weisst du über die Spalten einer Abbildungsmatrix? 

3. Was weisst du über Projektionen und deren Fixvektoren? 

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wie hast du A bekommen ? was hast du genau gemacht 

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"Abbildungsmatrix hat die Bildvektoren der Basisvektoren in den Spalten. " usw.

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Das ist vielleicht eine dumme Frage , aber wie hast die Bildvektoren der Basisvektoren bestimmt . 

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Bitte alles lesen, was ich erklärt habe: "Die Vektoren in der Projektionsebene sind Fixvektoren der Projektion. Der Normalenvektor auf der Projektionsebene wird auf den Nullvektor abgebildet. " usw. 

Auch oben die ganze Kommentarreihe solltest du mal Satz für Satz durchlesen.