Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen bezüglich B .

Question

Es sei \( B:=\left\{b_{1}, \ldots, b_{5}\right\} \) eine Basis eines reellen Vektorraums \( V \) und \( \Phi \) ein Endomorphismus von \( V \) mit
\(\begin{array}{llllllr}\Phi\left(b_{1}\right) & = & 4 b_{1} & +2 b_{2} & & -2 b_{4} & -3 b_{5} \\\Phi\left(b_{2}\right) & = & & & -2 b_{3} & & +b_{5} \\\Phi\left(b_{3}\right) & = & & -4 b_{2} & +2 b_{3} & & -b_{5} \\\Phi\left(b_{4}\right) & =-2 b_{1} & & +3 b_{3} & +b_{4} & -b_{5} \\\Phi\left(b_{5}\right) & = & & 3 b_{2} & & & +2 b_{5}\end{array} .\)
a) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen von \( \Phi \) und \( \Phi \circ \Phi \) bezüglich \( B \).
b) Ist \( \Phi \) bijektiv? Begründen Sie Ihre Antwort.
c) Zeigen Sie: Die Menge \( C:=\left\{c_{1}, c_{2}, c_{3}\right\} \), bestehend aus den Vektoren
\(c_{1}:=b_{2}+b_{3}+b_{5}, \quad c_{2}:=-b_{3}+b_{5}, \quad c_{3}:=b_{2}+b_{5},\)
ist Basis eines Untervektorraums \( U \) von \( V \) mit \( \Phi(U) \subset U \).
d) Berechnen Sie die Abbildungsmatrix des Endomorphismus \( \left.\Phi\right|_{U}: U \rightarrow U \) (das ist die Einschränkung von \( \Phi \) auf \( U \) ) bezüglich \( C \).

Answer 1

Matrix für Φ kannst du doch ablesen:

In jeder Spalte stehen die Faktoren

zur Darstellung des Bildes des

entsprechenden Basisvektors, also M=

4     0     0       -2       0
2     0    -4        0       3
0    -2      2        3       0
-2    0      0       1        0
-3    1      -1     -1       2

und für M^2 = ΦoΦ .

b) Nein, det(M)=0.

c) Berechne die 3 und zeige, dass sie lin. unabh. sind.

Berechne die Bilder der 3 Basisvektoren und zeige,

dass sie wieder in U sind.

d) Dazu kannst du doch die Darstellung der Bilder

aus c) benutzen.

Comments

Danke für die Antwort aber ich verstehe nicht so ganz wie ich die Bilder berechne.

Das mache ich ja mit −b2  +2b5  =  x*c1 + y*c2 + z*c3 oder? wie forme ich das aber um?

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Du brauchst doch z.B. Φ(c1) = Φ(b2 + b3 + b5)=Φ(b2)+Φ(b3)+Φ(b5)

= -2b3 + b5  -4b2 + 2b3 - b5 +3b2+2b5 = -b2 +2b5 .

Ach ja, soweit warst du schon. Dann setze bei

−b2  +2b5  =  x*c1 + y*c2 + z*c3

wieder c1 und c2 und c3 ein, also

−b2  +2b5  =  x*(b2 + b3 + b5) + y*(-b3+b5) + z*(b2+b5)

<=>  (x+z+1)*b2 + (x-y)*b3 +(x+y+z-2)b5 = 0

Da die b's lin. unabh. sind also

x+z+1=0    und x-y=0    und  x+y+z-2=0  

Gibt x=y=3 und z=-4.