Wo befindet sich das Empfängersystem (Schallgeschwindigkeit)?

Question

Hi zusammen,

ich habe folgendes Problem und benötige Hilfe beim berechnen der Aufgabe. Kann mit jemand einen Ansatz liefern?

Aufgabe:

Die Glocken der drei nächstgelegenen Kirchtürme (K1, K2,K3) haben unterschiedliche Tonhöhen und beginnen präzise dann zu schlagen, wenn von einem vierten Turm ein roter Ball heruntergeworfen wird (:-)). Dies geschieht jede Viertelstunde. (Vereinfachte Annahme: Die Schallgeschwindigkeit beträgt 339 m/s.) Die Kirchtürme befinden sich (gemäß des landkarteneigenen Koordinatensystems) an den Positionen K1: (11,2), K2: (21,7) und K3: (8,12) — Angaben in Kilometern. Eines Tages ermittelt ein eigens dafür gebauter Empfänger folgende Abstände zwischen
dem Einsetzen der Glocken (:-)):

\( \mathrm{K} 2 \longrightarrow \mathrm{1,69 \textrm {s }} \longrightarrow \mathrm{K} 3 \longrightarrow \mathrm{3,9 \textrm {s }} \longrightarrow \mathrm{K} 1 \)

a) Wo befindet sich der Empfänger in etwa? Kurze Begründung.
b) Welche Probleme hat dieses System?

Comments

Wo befindet sich das Empfängersystem

Wenn ich einen Standort des Empfängers bei x = 14,868, y = 9,657 nehme, dann dauert der Schall von K1

\(\sqrt{(14,868-11)^2 + (9,657-2)^2} \, / \, 0,339 \approx 25,3 \, \text{s} \)

und der Schall von K2

\(\sqrt{(14,868-21)^2 + (9,657-7)^2} \, / \, 0,339 \approx 19,7 \, \text{s} \)

und der Schall von K3

\(\sqrt{(14,868-8)^2 + (9,657-12)^2} \, / \, 0,339 \approx 21,4 \, \text{s} \)

was die Beschreibung in der Aufgabenstellung treffen sollte.

Die Koordinaten habe ich erhalten als Lösung des Gleichungssystems

\(\left| \begin {aligned} & \; (x - 11)^2 + (y - 2)^2 = r^2 \\ & \; (x - 21)^2 + (y - 7)^2 = (r - (3,9 + 1,69) \cdot 0,339)^2 \; \\ & \; (x - 8)^2 + (y - 12)^2 = (r - 3,9 \cdot 0,339)^2  \end{aligned} \right| \)

Answer 1

1,69s → 573m

3,9s → 1322m

K2 hat die kürzeste Entfernung zum Empfänger.

K3 ist ca. 0,57km weiter entfernt als K2.

K1 ist ca. 1,32km weiter entfernt als K3.

Comments

Danke für die Antwort. Ich denke 1,69*339m/s = 572m

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Richtig, allerdings fehlt bei 1,69 die Einheit s.

:-)

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Ich bin mir gerade nicht sicher ob man das ohne Zusatzsoftware lösen kann …

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wie bekomme ich den Standort vom Empfänger heraus?

Answer 2

Bestimme die zugehörigen Kreisgleichungen um die Kirchtürme herum. Der Empfänger hat dann die Koordinaten des gemeinsamen Schnittpunktes der 3 Kreise.

Comments

ich hab das soweit jetzt raus, aber komme nicht mehr weiter, wie finde ich nun den gemeinsamen schnittpunkt? :(x−11)^2 +(y−2)^2
=(x−21)^2+(y−7)^2 =(x−8)^2+(y−12)^2

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Die Radien hast du in deinen Gleichungen nicht berücksichtigt.

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Ich dachte der ist nicht gegeben und bleibt allgemein r^2 also das alle drei Kreise denselben Radius haben weshalb ich die Gleichung vereinfacht habe (in dem ich den Radius gekürzt habe)

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Die Radien bekommst du aus der Antwort von Monty. Sie liefert dir nämlich die Abstände der Kirchtürme zum Empfänger. Und deswegen liefern die Kreise mit dem entsprechenden Radius alle möglichen Standorte für den Empfänger.

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Ich erhalte jetzt die drei gleichungen, ein wert für den radius hab ich ja nicht, den hab ich allgemein mit r bezeichnet (Für K2 zum Empfänger).
K1: (x−11)^2 +(y−2)^2 = (r+1,89501)^2
K2: (x−21)^2+(y−7)^2 = r^2
K3: (x−8)^2+(y−12)^2 = (r+0,57291)^2

Jetzt weiß ich aber auch nicht weiter, wie ich das auflösen kann, bzw. den schnittpunkt bestimmen soll. Ich kann die doch nicht gleichsetzen

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Wolframalpha liefert:

\( r \approx 6.68331 \wedge x \approx 14.8675 \wedge y \approx 9.65701 \)

Die Frage

a) Wo befindet sich der Empfänger in etwa? Kurze Begründung.

lässt mich vermuten, dass das Gleichungssystem gar nicht gelöst, sondern dass ein Näherungswert bestimmt werden soll.

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Hier kommt noch eine Abbildung. Der untere Punkt kann verschoben werden.

https://www.desmos.com/calculator/i4ckyarwwz

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Ja, mit Geogebra bekomme ich das gleiche raus.

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dass ein Näherungswert bestimmt werden soll.

Da die Zeitmessung wohl kaum exakt ist, würde ich zur Schätzung das Kalmanfilter verrwenden. Aber ich weiß, dass die Mathematiker das irgendwie nicht mögen. Es ist wahrscheinlich auch nicht, was der Aufgabensteller erwartet.

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In der Aufgabenstellung steht auch "Wo befindet sich der Empfänger in etwa?"

Eine Schätzung ist hier durchaus ausreichend würde ich behaupten.

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@Monty

Die Schallwellen kommen aber nicht gleichzeitig an, sondern mit den Zeitdifferenzen

 

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@wächter:

Da hast du natürlich recht. Meine Abbildung entspricht dem Gleichungssystem und nicht der Darstellung der Wellenausbreitung wie bei dir.

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Nun mit Schallausbreitung. :-)

https://www.desmos.com/calculator/ivy42mkdhy

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Keine Ahnung, warum man hier wieder fehlinterpretiert. Es ging zu keinem Zeitpunkt um die Darstellung der Schallwellen. Die Kreise sollten die möglichen Standorte des Empfängers darstellen, wie in der ersten Abbildung von Monty zu sehen. Die Schallwellen sind uninteressant.

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Ich hab das jetzt so gelöst (danke für die sehr hiflreichen Tipps):