Divergenz von einer harmonischen Reihe

Question

Text erkannt:

\( \sum \limits_{k=4}^{\infty}\left(\frac{8}{7}\right)^{k+3} \)
divergent

Hallo. Warum ist diese Reihe divergent. Man könnte doch über das Potenzgesetz die plus 3 entfernen, die 4 Werte von k abziehen und daraus die Formel der harmonischen Reihe anwenden und man hat einen festen Wert.

Answer 1

Aloha :)

Du hast schon gesehen, dass jeder Summand größer als \(1\) ist?

$$\sum\limits_{k=4}^\infty\left(\frac87\right)^{k+3}>\sum\limits_{k=4}^\infty\left(1\right)^{k+3}=\sum\limits_{k=4}^\infty1\to\infty$$

Answer 2

daraus die Formel der harmonischen Reihe anwenden und man hat einen festen Wert.

Die harmonische Reihe divergiert auch.

Die betrachtete Folge ist nicht mal eine Nullfolge.

Wie soll da die Reihe konvergieren?

Comments

wenn der Betrag der harmonischen reihe größer 1 ist divergiert sie oder?

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Verwechselst Du eventuell harmonisch und geometrisch?

Answer 3

(8/7)^3 vor die Summe ziehen.

8/7 >1

8/7 wird mit jeder Multiplikation größer, also haut die Summe ins Unendliche ab.

8/7 = ca. 1,142 = Wachstum um 14,2% .