Probleme bei der Anwendung des Minorantenkriteriums und der Divergenz der harmonischen Reihe

Question

Ich habe die Aufgabe mit Hilfe des Minorantenkriteriums und der Divergenz der harmonischen Reihe die Divergenz der Reihe ∑ (n^2-n*ln(n))/(n^3+9*n^2+3)) zu zeigen. Durch kürzen schaffe ich es allerdings nicht auf weniger als

n-ln(n)/(n²+9n+3/n)

zu kommen. Wie kann ich die Reihe weiterhin kürzen, damit ich auf eine Form ≥1/n komme?

Comments

Z.B. gilt \(\dfrac{n^2-n\ln(n)}{n^3+9n^2+3}>\dfrac{\frac12n^2}{2n^3}=\dfrac14\cdot\dfrac1n\) für hinreichend große \(n\in\mathbb N\).

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Hm das geht... Aber warum gilt, dass n*ln(n) < 1/2 n² ist? Das haben wir bisher nicht wirklich behandelt

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Der Logarithmus wächst langsamer als jede Potenzfunktion.

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Für alle \(n\ge3\) gilt gemäß Exponentialreihe \(\operatorname e^n>1+n+\tfrac12n^2+\tfrac16n^3>\tfrac12n^2+\tfrac16\cdot3n^2=n^2\Longrightarrow n>2\ln(n)\).

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Ah alles klar. Danke für den Beweis mit der Exponentialreihe, macht Sinn.

Answer 1

Sicher, dass du dich nicht irgendwo vertippt hast.

Ich erhalte

             (n²-n*ln(n))  /   (n³+9*n²+3)     >     1/n

Man kann mit  (n³+9*n²+3)  multiplizieren ( ist positiv) und hat

<=>                                 n²-n*ln(n)    >     1/n *    (n³+9*n²+3)   =  n² + 9n  +  3/n

<=>                            -n*ln(n)    >       9n  +  3/n

Und links steht was negatives ( wegen n>1) und rechts positiv ???????????

Comments

Nein, ich habe mich nicht vertippt. Die obige Angabe ist korrekt