Untersuch mal mit Hilfe des Majoranten- und Minorantenkriteriums die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz:

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie mit Hilfe des Majoranten- und Minorantenkriteriums die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz:
(a) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3 n+1} \)
(b) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left(3+(-1)^{n}\right)^{n}} \)
(c) \( \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n+n^{2}} \)
(d) \( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2 n}} \).

Answer 1

Aloha :)

zu a) Ein positiver Bruch wird kleiner, wenn sein Nenner wächst:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{3n+1}>\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{3n+3}=\frac13\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+1}=\frac13\sum\limits_{n=2}^\infty\frac1n\to\infty$$

zu b) Ein positiver Bruch wird größer, wenn sein Nenner schrumpft:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(3+(-1)^n)^n}<\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{2^n}=\sum\limits_{n=1}^\infty\left(\frac12\right)^n=\frac{1}{1-\frac12}=2$$

zu c) Ein positiver Bruch wird größer, wenn sein Nenner schrumpft:$$\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n+n^2}<\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$$

zu d) Ein positiver Bruch wird kleiner, wenn sein Nenner wächst:$$\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{\sqrt{2n}}>\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{2n}=\frac12\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{n}\to\infty$$