Aufgabe:
Use the Cauchy criterion to show that the harmonic series
\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{1/k} \)
doesn't converge.
"Nutze das Cauchy Kriterium um zu zeigen, dass die harmonische Reihe
\( \sum\limits_{k=1}^{\infty}{1/k} \)
nicht konvergiert."
Problem/Ansatz:
Soweit mir bekannt, konvergiert eine Reihe, sobald das Cauchy Kriterium: für ε > 0, existiert ein N sodass |xn - xm| < ε für alle n,m ≥ N
Intuitiv ist mir klar dass die Summe dieser Reihe immer größer wird, wenngleich die Summanden unendlich klein werden für k → unendlich. Meinem Verständnis nach müsste jedoch somit auch |xn - xm| unendlich klein werden, da für sehr großes k die Differenz zwischen Element k+1 und k immer geringer wird. Dennoch kommt ja immer noch "etwas mehr" hinzu.
Wie kann ich dies mathematisch exakt zeigen?
Wie ist das Vorgehen um generell für Reihen anhand des Cauchy-Kriteriums zu zeigen, ob diese konvergieren oder nicht?
Besten Dank für Hilfe und Hinweise
elyminas
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